Xét ΔABC có

D,F lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DF là đường trung bình của ΔABC

=>DF//BC và \(DF=\frac{BC}{2}\)

Xét ΔOBC có

M,N lần lượt là trung điểm của OB,OC

=>MN là đường trung bình của ΔOBC

=>MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)

DF//BC

MN//BC

Do đó: DF//MN

\(DF=\frac{BC}{2}\)

\(MN=\frac{BC}{2}\)

Do đó: DF=MN

Xét tứ giác DFNM có

DF//NM

DF=NM

Do đó: DFNM là hình bình hành

=>DN cắt FM tại trung điểm của mỗi đường(1)

Xét ΔABO có

D,L lần lượt là trung điểm của AB,AO

=>DL là đường trung bình của ΔABO

=>DL//BO và \(DL=\frac{BO}{2}\)

Xét ΔOBC có

E,N lần lượt là trung điểm của CB,CO

=>EN là đường trung bình của ΔOBC

=>EN//OB và \(EN=\frac{OB}{2}\)

DL//OB

EN//OB

Do đó: DL//EN

\(DL=\frac{BO}{2}\)

\(EN=\frac{BO}{2}\)

Do đó: DL=EN

Xét tứ giác DLNE có

DL//NE

DL=NE

Do đó: DLNE là hình bình hành

=>DN cắt LE tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra DN,LE,FM đồng quy

Xét ΔBAO có

D,M lần lượt là trung điểm của BA,BO

=>DM là đường trung bình của ΔBAO

=>DM//AO và \(DM=\frac{AO}{2}\)

Xét ΔCAO có

F,N lần lượt là trung điểm của CA,CO

=>FN là đường trung bình của ΔCAO

=>FN//AO và \(FN=\frac{AO}{2}\)

DM//AO

FN//AO

Do đó: DM//FN

\(DM=\frac{AO}{2}\)

\(FN=\frac{AO}{2}\)

Do đó: DM=FN

XétΔOBC có

M,E lần lượt là trung điểm của BO,BC

=>ME là đường trung bình của ΔOBC

=>ME//OC và \(ME=\frac{OC}{2}\)

Xét ΔAOC có

L,F lần lượt là trung điểm của AO,AC

=>LF là đường trung bình của ΔAOC

=>LF//OC và \(LF=\frac{OC}{2}\)

ME//OC

LF//OC

Do đó:ME//LF

\(ME=\frac{OC}{2}\)

\(LF=\frac{OC}{2}\)

Do đó: ME=LF

Xét tứ giác MEFL có

ME//FL

ME=FL

Do đó;MEFL là hình bình hành

=>MF cắt EL tại trung điểm của mỗi đường(1)

Xét tứ giác DMNF có

DM//NF

DM=NF

Do đó; DMNF là hình bình hành

=>DN cắt MF tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra DN,MF,EL đồng quy

Gọi I trung điểm LE. Ta có DL//EN//OB và DL = EN = 0.5OB Þ DENL là hình bình hành. Tương tự chứng minh LMEF là hình bình hành. Từ đó suy ra EL,FM, DN đồng quy tại I

Xét ΔABO có

F,L lần lượt là trung điểm của AB,AO

=>FL là đường trung bình của ΔABO

=>FL//BO và \(FL=\frac{BO}{2}\)

Xét ΔOBC có

N,E lần lượt là trung điểm của CO,CB

=>NE là đường trung bình của ΔOBC

=>NE//OB và \(NE=\frac{OB}{2}\)

FL//BO

NE//OB

Do đó: FL//NE

\(FL=\frac{BO}{2}\)

\(NE=\frac{BO}{2}\)

Do đó: FL=NE

Xét tứ giác FLNE có

FL//NE

FL=NE

Do đó; FLNE là hình bình hành

=>FN cắt LE tại trung điểm của mỗi đường(1)

Xét ΔAOC có

L,D lần lượt là trung điểm của AO,AC

=>LD là đường trung bình của ΔAOC

=>LD//OC và \(LD=\frac{OC}{2}\)

Xét ΔBOC có

M,E lần lượt là trung điểm của BO,BC

=>ME là đường trung bình của ΔBOC

=>ME//OC và \(ME=\frac{OC}{2}\)

LD//OC

ME//OC

Do đó: LD//ME

\(LD=\frac{OC}{2}\)

\(ME=\frac{OC}{2}\)

Do đó: LD=ME

Xét tứ giác LDEM có

LD//EM

LD=EM

Do đó: LDEM là hình bình hành

=>LE cắt DM tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra LE,DM,FN đồng quy

Xét tg OAC có 

FA=FC

NO=NC

=> NF là đường trung bình => NF//OA và NF=OA/2 (1)

Xét tg OAB chứng minh tương tự => MD//)A và MD=OA/2 (2)

Từ (1) và (2) => NF//=MD => MDFN là hình bình hành => DN cắt FM tại trung điểm mỗi đường (*)

Chứng minh tương tự cũng có EDLF là hình bình hành => DN cắt EL tại trung điểm mỗi đường (**)

Từ (*) và (**) => EL; FM; DN đều cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên chúng đồng quy