Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔABD và ΔACE có
AB=AC
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)
BD=CE
Do đó: ΔABD=ΔACE
Suy ra: AD=AE
hay ΔADE cân tại A
b: Ta có: MB+BD=MD
MC+CE=ME
và MB=MC
và BD=CE
nên MD=ME
Ta có: ΔADE cân tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM là đường phân giác và cũng là đường cao
c: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có
AB=AC
\(\widehat{HAB}=\widehat{KAC}\)
Do đó: ΔAHB=ΔAKC
Suy ra: BH=CK
d: Xét ΔADE có
AH/AD=AK/AE
Do đó: HK//DE
hay HK//BC
tự vẽ hình
a) Xét ΔADE có :
HE là đường trung tuyến của AD HA=HD )(1)
Ta thấy HC=12BC ( AH là đường trung tuyến của BC )
Mà BC = CE (gt )
⇒HC=12CE (2)
Từ (1) và (2) ⇒C là trọng tâm của ΔADE
b) Hơi khó đấy :)
Xét ΔAHB và ΔAHC có :
HAHA chung
HB=HC ( AH là đường trung tuyến của BC )
AB=AC( ΔABC cân tại A )
Do đó : ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)
⇒AHBˆ=AHCˆ( hai góc tương ứng )
Mà AHBˆ+AHCˆ=1800
⇒AHB^=AHC^=1800/2=90o
Xét ΔAHEvà ΔHED có :
HEHE chung
HA=HD( HE là đường trung tuyến của AD )
AHEˆ=DHEˆ(=900)
Do đó : ΔAHE=ΔDHE ( hai cạnh góc vuông )
⇒AEHˆ=DEHˆ ( góc tương ứng ) (*)
Vì C là trọng tâm của ΔAED là đường trung tuyến của DE )
Xét vuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE
⇒HM=DM (1)
Lưu ý : Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền . Tức HM=12DE Mà 12DE=DM⇒HM=DM
Trở lại vào bài :
Mặt khác DM=ME(cmt)(2)
Từ (1) và (2) ⇒HM=ME
⇒ΔHME⇒ΔHME cân tại M
⇒MHEˆ=MEHˆ
Dễ thấy MEHˆ=HEAˆ(cmt)
⇒MHEˆ=HEAˆ
mà hai góc này ở vị trí so le trong
⇒HM⇒HM//AE(đpcm)
Từ đỉnh A kẻ đường cao AH (H thuộc BC) (1)
Ta có : tam giác ABC cân tại A (gt) (2)
Từ(1) và(2)=> HB=HC(=1/2 BC) (3)
Lại có: BM=CN (gt) (4)
M nằm trên tia đối của tia BC, N nằm trên tia đối của tia CB => M,B,C.N thẳng hàng (5)
Từ (3)và (4)=>HB+BM=HC+CN (6)
Từ (5) và (6)=>AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến trong tam giác AMN
=> Tam giác AMN cân tại A (đpcm)
Hình vẽ:
A B C D E
Giải:
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\):
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) ( góc bù )
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:
\(AB=AC \) \(\left(gt\right)\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) \(\left(cmt\right)\)
\(BD=CE \) \(\left(gt\right)\)
Do đó: \(\Delta ABD=\Delta ACE\) \(\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AD=AE\) ( cặp cạnh tương ứng )
\(\Rightarrow\Delta ADE\) cân tại \(A\).
Bài làm
Bạn tự vẽ hình nhé
Vì tam giác ABCABC cân tại A:
⇒ˆABC=ˆACB⇒ABC^=ACB^
⇒ˆABD=ˆACE⇒ABD^=ACE^ ( góc bù )
Xét ΔABDΔABD và ΔACEΔACE có:
AB=ACAB=AC (gt)
ˆABD=ˆACEABD^=ACE^ (cmt)
BD=CEBD=CE (gt)(gt)
Do đó: ΔABD=ΔACEΔABD=ΔACE (c.g.c)(c.g.c)
⇒AD=AE⇒AD=AE ( cặp cạnh tương ứng )
⇒ΔADE⇒ΔADE cân tại A
Xét ΔBAM và ΔCAN có
AB=AC
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
BM=CN
DO dó: ΔBAM=ΔCAN
Suy ra: AM=AN
hay ΔAMN cân tại A
*) Ta có: ΔABC cân tại A
BD = CE (giả thiết)
Suy ra: ΔABD = ΔACE (c.g.c)
⇒ AD = AE ( hai cạnh tương ứng)
*) Tam giác ADE có AD = AE nên tam giác này cân tại A (theo định nghĩa tam giác cân)
a)
Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AH chung
Do đó: ΔABH=ΔACH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: BH=CH(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔABH vuông tại H và ΔDCH vuông tại D có
AH=DH(gt)
BH=CH(cmt)
Do đó: ΔABH=ΔDCH(hai cạnh góc vuông)
Suy ra: AB=DC(Hai cạnh tương ứng)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên AC=DC(đpcm)
b) Xét ΔAHE vuông tại H và ΔDHE vuông tại H có
EH chung
AH=DH(gt)
Do đó: ΔAHE=ΔDHE(hai cạnh góc vuông)
Suy ra: AE=DE(Hai cạnh tương ứng)
Xét ΔACE và ΔDCE có
CA=CD(cmt)
CE chung
AE=DE(cmt)
Do đó: ΔACE=ΔDCE(c-c-c)
ΔABC cân tại A suy ra 
Ta lại có :
- ΔABM và ΔACN có
AB = AC (Do ΔABC cân tại A).
BM = CN(gt)
⇒ ΔABM = ΔACN (c.g.c)
⇒ AM = AN (hai cạnh tương ứng) ⇒ ΔAMN cân tại A.
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ (vậy $AB = AC$ và góc $A = 90^\circ$).
Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $M$ sao cho $CM = CB$.
Trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AN = AC$.
Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $P$ sao cho $BP = BA$.
---
## Mục tiêu chứng minh:
1. $AM \perp NP$
2. $AM = NP$
---
## Phân tích và chứng minh:
### Bước 1: Thiết lập hệ trục tọa độ
Để dễ chứng minh, ta dựng hệ tọa độ phẳng $Oxy$:
* Gốc tọa độ tại $A$.
* Vì tam giác vuông cân tại $A$, giả sử:
$AB$ trên trục $Ox$ với $AB = AC = a$
$AC$ trên trục $Oy$ với $AC = a$
Vậy tọa độ các điểm:
$$
A = (0,0), \quad B = (a,0), \quad C = (0,a)
$$
---
### Bước 2: Tìm tọa độ các điểm $M, N, P$
* $M$ trên tia đối của $CB$:
Tia $CB$ có điểm $C(0,a)$, $B(a,0)$. Vector $\overrightarrow{CB} = (a - 0, 0 - a) = (a, -a)$.
Tia đối của $CB$ tại $C$ là hướng $-\overrightarrow{CB} = (-a, a)$.
Vì $CM = CB = |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{a^2 + a^2} = a \sqrt{2}$,
Ta có:
$$
M = C + (-a, a) = (0 - a, a + a) = (-a, 2a)
$$
---
* $N$ trên tia đối của $AC$:
Tia $AC$ có $A(0,0)$, $C(0,a)$, vector $\overrightarrow{AC} = (0, a)$.
Tia đối của $AC$ tại $A$ là hướng $(0, -a)$.
Vì $AN = AC = a$,
$$
N = A + (0, -a) = (0, -a)
$$
---
* $P$ trên tia đối của $BA$:
Tia $BA$ có $B(a,0)$, $A(0,0)$, vector $\overrightarrow{BA} = (-a,0)$.
Tia đối của $BA$ tại $B$ là hướng $(a, 0)$.
Vì $BP = BA = a$,
$$
P = B + (a, 0) = (a + a, 0) = (2a, 0)
$$
---
### Bước 3: Tính vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{NP}$
$$
\overrightarrow{AM} = M - A = (-a, 2a) - (0,0) = (-a, 2a)
$$
$$
\overrightarrow{NP} = P - N = (2a, 0) - (0, -a) = (2a, a)
$$
---
### Bước 4: Kiểm tra tính vuông góc $AM \perp NP$
Tích vô hướng:
$$
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{NP} = (-a)(2a) + (2a)(a) = -2a^2 + 2a^2 = 0
$$
Vậy $AM \perp NP$.
---
### Bước 5: So sánh độ dài $AM$ và $NP$
$$
|AM| = \sqrt{(-a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5} a
$$
$$
|NP| = \sqrt{(2a)^2 + (a)^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5} a
$$
Vậy $AM = NP$.
---
## **Kết luận:**
* $AM \perp NP$
* $AM = NP$
---
Nếu bạn cần mình giải thích chi tiết hơn hoặc vẽ hình minh họa, hãy nói nhé!
Tham khảo
Xét ΔBAC vuông tại A và ΔBAN vuông tại A có
BA chung
AC=AN
Do đó: ΔBAC=ΔBAN
=>BC=BN và \(\hat{ABC}=\hat{ABN}=45^0\)
Ta có: \(\hat{ABN}+\hat{PBN}=180^0\) (hai góc kề bù)
\(\hat{ACB}+\hat{ACM}=180^0\) (hai góc kề bù)
mà \(\hat{ABN}=\hat{ACB}\left(=45^0\right)\)
nên \(\hat{PBN}=\hat{ACM}\)
Xét ΔPBN và ΔACM có
PB=AC
\(\hat{PBN}=\hat{ACM}\)
BN=CM(=BC)
Do đó: ΔPBN=ΔACM
=>PN=AM và \(\hat{AMC}=\hat{PNB}\) ; \(\hat{CAM}=\hat{BPN}\)
mà \(\hat{BPN}+\hat{ANP}=90^0\)
nên \(\hat{CAM}+\hat{ANP}=90^0\)
Gọi K là giao điểm của tia MA và PN
=>\(\hat{KAN}=\hat{CAM}\) (hai góc đối đỉnh)
=>\(\hat{KAN}+\hat{ANP}=90^0\)
=>AK⊥PN tại K
=>MA⊥PN tại K