CD là tiếp tuyến của gì em?

Ta cùng giải bài toán này một cách gọn và rõ ràng nhất có thể.

✅ TÓM TẮT ĐỀ BÀI:

• \(A B C D\) là hình thang vuông tại A và B ⇒ \(\angle A = \angle B = 90^{\circ}\)
• \(O\) là trung điểm của \(A B\)
• \(\angle C O D = 90^{\circ}\)
• Cần chứng minh: \(C D\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(A B\)

✅ PHÂN TÍCH VÀ CHỨNG MINH:

1. Gọi (O) là đường tròn đường kính \(A B\):

• Vì \(O\) là trung điểm của \(A B\) ⇒ O là tâm đường tròn đường kính AB.

2. Tính chất quan trọng:

• Trong đường tròn đường kính \(A B\), mọi điểm \(M\) trên đường tròn thỏa mãn:
  \(\angle A M B = 90^{\circ}\)
  ⇒ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

3. Xét điểm \(D\):

• Ta biết \(\angle C O D = 90^{\circ}\)
• Mà \(O\) là trung điểm AB ⇒ \(C O\) là bán kính (O)
• Do đó, \(\angle C O D = 90^{\circ} \Rightarrow C D \bot C O\)

4. Tính chất tiếp tuyến:

• Nếu \(C D \bot C O\) tại điểm \(C\), với \(O\) là tâm đường tròn ⇒ CD là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(C\)

Tương tự, nếu vuông tại D ⇒ CD là tiếp tuyến tại D.

✅ KẾT LUẬN:

\(\boxed{C D \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp}; A B}\)

Nếu bạn cần hình minh họa hoặc muốn làm tiếp các bài tương tự, mình hỗ trợ thêm!

🔺 Bài toán:

Cho hình thang vuông \(A B C D\) với:

• \(\angle A = \angle B = 90^{\circ}\) ⇒ \(A B \bot A D\), \(A B \bot B C\)
• \(O\) là trung điểm của đoạn \(A B\)
• \(\angle C O D = 90^{\circ}\)
• Chứng minh rằng: \(C D\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(A B\)

🎯 Yêu cầu:

Chứng minh: \(C D\) tiếp xúc với đường tròn đường kính \(A B\)

🔍 Phân tích:

• Đường tròn đường kính \(A B\) có tâm là trung điểm \(O\) của \(A B\), bán kính \(R = \frac{A B}{2}\)
• \(C D\) là một cạnh của hình thang vuông, và ta cần chứng minh nó là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(A B\)

💡 Ý tưởng chứng minh:

Để chứng minh \(C D\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(A B\), ta chỉ cần chứng minh:

\(\boxed{\angle C O D = 90^{\circ} \Rightarrow C D \&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{x} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp}; A B}\)

Ta sẽ dùng tính chất sau:

Nếu một điểm \(D\) nằm ngoài đường tròn tâm \(O\), và \(\angle C O D = 90^{\circ}\), thì \(C D\) là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm nào đó (trong trường hợp này, tiếp tuyến chung với đường tròn đường kính \(A B\)).

✏️ Chứng minh chi tiết:

1. Gọi \(\left(\right. O \left.\right)\) là đường tròn đường kính \(A B\)
2. \(\angle C O D = 90^{\circ}\) ⇒ tam giác \(C O D\) vuông tại \(O\)
3. Mà \(O\) là tâm của đường tròn, nên:
4. • Trong tam giác \(C O D\), \(\angle C O D = 90^{\circ}\) ⇒ theo tính chất hình học, điểm \(D\) nằm trên tiếp tuyến với đường tròn tại điểm \(C\), nếu \(C\) nằm trên đường tròn.
   • Tức là: Nếu \(O C\) là bán kính, và \(\angle C O D = 90^{\circ}\), thì \(C D \bot O C\), nên \(C D\) là tiếp tuyến tại điểm \(C\).

✅ Kết luận:

\(\boxed{\text{CD}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{AB}}\)

Vì \(\angle C O D = 90^{\circ}\), nên theo tính chất hình học, \(C D\) vuông góc với bán kính \(O C\) tại tiếp điểm ⇒ CD là tiếp tuyến.

Tham khảo