a: Xét tứ giác OACM có

\(\widehat{OAC}+\widehat{OMC}=90^0+90^0=180^0\)

=>OACM là tứ giác nội tiếp

=>O,A,C,M cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: CA=CM

=>C nằm trên đường trung trực của AM(1)

OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AM

=>OC\(\perp\)AM

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM\(\perp\)MB tại M

Ta có: AM\(\perp\)MB

AM\(\perp\)OC

Do đó: OC//MB

c: Xét (O) có

ΔAKB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAKB vuông tại K

=>KB\(\perp\)KA tại K

=>AK\(\perp\)BC tại K

Xét ΔABC vuông tại A có AK là đường cao

nên \(BK\cdot BC=BA^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)

vẽ hình và làm bài trên

a: Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc AOM

OC là phân giác của góc AOM

=>\(\hat{AOM}=2\cdot\hat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có \(\hat{AOM}+\hat{BOM}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

b: ΔOAM cân tại O

mà OI là đường phân giác

nên OI⊥AM tại I và I là trung điểm của AM

ΔOBM cân tại O

mà OK là đường phân giác

nên OK⊥BM tại K và K là trung điểm của BM

Xét tứ giác MIOK có \(\hat{MIO}=\hat{MKO}=\hat{IOK}=90^0\)

nên MIOK là hình chữ nhật

c: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

=>\(AC\cdot BD=OM^2=R^2\) không đổi

d: Gọi N là trung điểm của CD

=>N là tâm đường tròn đường kính CD

ΔOCD vuông tại O

=>O nằm trên đường tròn đường kính CD

Xét hình thang ABDC có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC

=>ON//AC//BD

=>ON⊥AB

Xét (N) có

NO là bán kính

AB⊥NO tại O

Do đó: AB là tiếp tuyến tại O của (N)

=>AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

a: Xét tứ giác CAOM có \(\hat{CAO}+\hat{CMO}=90^0+90^0=180^0\)

nên CAOM là tứ giác nội tiếp

=>C,A,O,M cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>MA⊥MB

Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc AOM
ΔOAM cân tại O

mà OC là đường phân giác

nên OC⊥AM

OC⊥AM

AM⊥MB

Do đó: OC//MB

c: Xét (O) có

ΔAKB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAKB vuông tại K

=>AK⊥CB tại K

Xét ΔCAB vuông tại A có AK là đường cao

nên \(BK\cdot BC=BA^2=4R^2\)

d: Xét ΔCAB vuông tại A có AK là đường cao

nên \(CK\cdot CB=CA^2\)

=>\(CK\cdot CB=CM^2\)

=>\(\frac{CK}{CM}=\frac{CM}{CB}\)

Xét ΔCKM và ΔCMB có

\(\frac{CK}{CM}=\frac{CM}{CB}\)

góc KCM chung

Do đó: ΔCKM~ΔCMB

=>\(\hat{CKM}=\hat{CMB}\)

a: Xét tứ giác CAOM có góc CAO+góc CMO=180 độ

nên CAOM là tứ giác nội tiếp

Tâm là trung điểm của OC

b: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

AC+BD=CM+MD=CD

TIA BM CAT Ax TAI, N TIEP THEO TU LAM

a) vì \(AC\)VÀ \(CM\)LÀ 2 TIẾP TUYẾN CẮT NHAU TẠI \(C\)CỦA ĐƯỜNG TRÒN \(\left(O\right)\)NÊN TA CÓ

  -   \(CO\)LÀ TIA PHÂN GIÁC \(\widehat{ACM}\)               ( TÍCH CHẤT 

  -  \(OC\)LÀ TIA PHÂN GIÁC \(\widehat{AOM}\)             2 TIẾP TUYẾN 

  -  \(AC=CM\)                                                           CẮT NHAU )

\(\Rightarrow\widehat{AOC}=\widehat{MOC}\)

C/M TƯƠNG TỰ TA CÓ  \(\widehat{MOD}=\widehat{BOD}\)

+ TA CÓ: \(\widehat{AOC}+\widehat{MOC}+\widehat{MOD}+\widehat{BOD}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\widehat{COM}+2\widehat{MOD}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2.\left(\widehat{COM}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{COM}+\widehat{MOD}=90^0\)

HAY \(\widehat{COD}=90^0\)

VẬY \(\widehat{COD}=90^0\)

B) XÉT \(\Delta AOM\)CÓ : \(AO=OM\)( BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN TÂM O )

\(\Rightarrow\Delta AOM\)LÀ \(\Delta\)CÂN TẠI O

MÀ \(\widehat{AOI}=\widehat{MOI}\)( TÍNH CHẤT 2 TIẾP TUYẾN CẮT NHAU )

\(\Rightarrow OI\)LÀ TIA PHÂN GIÁC ĐỒNG THỜI LÀ ĐƯỜNG CAO TRONG \(\Delta\) CÂN \(AOM\)

\(\Rightarrow OI\perp AM\)TẠI  \(I\)

\(\Rightarrow\widehat{MIO}=90^0\)

C/M TƯƠNG TỰ TA CÓ: \(MK\perp OK\)

\(\Rightarrow\widehat{OKM}=90^0\)

THEO CÂU A) TA CÓ: \(\widehat{COD}=90^0\)

XÉT TỨ GIÁC \(OIMK\) CÓ 3 GÓC VUÔNG \(\Rightarrow\)TỨ GIÁC \(OIMK\)LÀ HÌNH CHỮ NHẬT

VẬY T/G \(OIMK\)LÀ HCN

C) TA CÓ: \(AC=CM\)( TÍNH CHẤT 2 TIẾP TUYẾN ....)

TƯƠNG TỰ \(MD=BD\)

KHI ĐÓ: \(AC.BD\) 

\(=CM.MD\)

+ \(OM\perp CM\)( \(CM\)LÀ TIẾP TUYẾN TẠI M )

ÁP DỤNG HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO VÀO \(\Delta COD\)VUÔGN TẠI \(O\), ĐƯỜNG CAO \(OM\)TA CÓ 

\(CM.MD=MO^2\)

\(\Rightarrow CM.MD=R^2\)  ( VÌ \(MO\)LÀ BÁN KÍNH)

HAY \(AC.BD=R^2\)  MÀ \(R\)KHÔNG ĐỔI

\(\Rightarrow AC.BD\)KO ĐỔI KHI \(C\)DI CHUYỂN TRÊN \(Ax\)

D) VẼ \(I\)LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA \(CD\), NỐI \(O\)VỚI \(I\)

\(AC\perp AB\) ( AC LÀ TIẾP TUYẾN TẠI A )

\(BD\perp AB\)( BD LÀ TIẾP TUYẾN TẠI B)

\(\Rightarrow AC\)SONG SONG \(BD\)( CÙNG VUÔNG GOC VỚI AB  )

\(\Rightarrow\)T/G \(ACDB\)LÀ HÌNH THANG

XÉT HÌNH THANG \(ACDB\)

CÓ \(CI=DI\)

\(AO=OB\)

\(\Rightarrow OI\)SONG SONG \(AC\)

MÀ \(AC\perp AB\)

\(\Rightarrow OI\perp AB\)  ( 1 ) 

+ \(MC=MD=\frac{1}{2}CD\)

XÉT \(\Delta\)VUÔNG \(COD\)CÓ   \(OI\)LÀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN ỨNG VỚI CẠNH HUYỀN \(CD\)

VÀ \(OI=\frac{1}{2}CD\)

\(\Rightarrow OM=MC=MD\)

\(\Rightarrow M\)CÁCH ĐỀU 3 ĐIỂM \(O,C,D\)

\(\Rightarrow M\in\left(I;\frac{CD}{2}\right)\)  ( 2 ) 

TỪ ( 1 ) VÀ ( 2 ) TA CÓ: \(AB\)LÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG KÍNH CD