Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải:
Trước hết ta chứng minh \(\forall x,y,z\ge0\) ta có: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)
Do vai trò \(a,b,c\) như nhau nên giả sử \(a=b=c=kd\)
Khi đó áp dụng \(\left(1\right)\) ta có:
\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\)
\(d^3+\frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}\ge\frac{3dab}{k^2}\)
\(d^3+\frac{b^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}\ge\frac{3bdc}{k^2}\)
\(d^3+\frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}\ge\frac{3dca}{k^2}\)
\(\Rightarrow3d^3+\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3}{k^2}\left(abc+bcd+cda+dab\right)\)
\(\Rightarrow9d^3+3\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{9}{k^2}.\)
Vậy ta tìm \(k\) thỏa mãn \(\Rightarrow3\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)=4\Rightarrow4k^3-3k-6=0\)
Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)^2\) ta có:
\(k=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)=6\)
\(\Leftrightarrow x^6-12x^3+1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\\x=\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(6-\sqrt{35}\right)\left(6+\sqrt{35}\right)=1\Rightarrow k=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)\)
Với \(k\) xác định như trên ta tìm được:
\(P_{min}=\frac{9}{k^2}=\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)
bài này mk có cách làm r` mà hơi ngu mà hơi là ko dc làm gì phải dứt khoát chờ mk tìm cách ngu hơn
Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể dự đoán dấu bằng xảy ra tại \(a=b=c=dk\) với k dương
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ ba số dương ta được
\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\)(*) ; \(\frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3adb}{k^2}\)(**) ; \(\frac{b^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3bcd}{k^2}\)(***) ;\(\frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3cda}{k^2}\)(****)
Cộng theo vế 4 bất đẳng thức (*), (**), (***), (****), ta được: \(\left(\frac{1}{k^2}+\frac{2}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+3d^3\ge\frac{3\left(abc+bcd+cda+dab\right)}{k^2}=\frac{3}{k^2}\)
Hay \(\left(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+9d^3\ge\frac{9}{k^2}\)
Ta cần tìm k để \(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}=4\Leftrightarrow4k^3-3k-6=0\)và ta chọn k là số dương
Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\)thay vào phương trình trên và biến đổi ta thu được \(x^6-12x^3+1=0\)
Giải phương trình này ta được \(x=\sqrt[3]{6\pm\sqrt{35}}\), để ý \(\left(6+\sqrt{35}\right)\left(6-\sqrt{35}\right)=1\)nên ta tính được \(k=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}\)
Do đó ta tính được giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}d\)
\(\sqrt{2012}=\left(abc+bcd-a-d\right)+\left(cda+dab-c-b\right)\)
\(=\left(bc-1\right)\left(a+d\right)+\left(c+b\right)\left(ad-1\right)\)
\(\Rightarrow2012=\left[\left(bc-1\right)\left(a+d\right)+\left(c+b\right)\left(ad-1\right)\right]^2\)
\(\le\left[\left(bc-1\right)^2+\left(c+b\right)^2\right]\left[\left(a+d\right)^2+\left(ad-1\right)^2\right]\)
\(=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\left(d^2+1\right)\)
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha
s ko tag t :vvvv
Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = kd, với k là số dương
Khi đó áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta đc
\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^2\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\\ \frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{2abd}{k^2}\\ \frac{b^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3abcd}{k^2}\\ \frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}\ge\frac{3cad}{k^2}\)
Cộng hai vế các BĐT trên ta đc:
\(\left(\frac{1}{k^2}+\frac{2}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^2\right)+3d^3\ge\frac{3\left(abc+abd+bcd+cad\right)}{k^2}=\frac{3}{k^2}\)
Hay \(\left(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^2\right)+9d^3\ge\frac{9}{k^2}\)
Ta cần tìm k để \(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}=4\Leftrightarrow4k^3-3k-6=0\) và ta chọn k là số dương
Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\) thay vào phương trình trên và biến đổi ta thu đc
\(x^6-12x^3+1=0\)
Giải phương trình này ta đc \(x=\sqrt[3]{6\pm\sqrt{35}}\), để ý là \(\left(6+\sqrt{35}\right)\left(6-\sqrt{35}\right)=1\)
nên ta tính đc \(k=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}\)
Do đó ta tính đc min của P là \(\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \(\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}.d>0\)
Ồ sorry bạn nhiều, chỗ đấy bị lỗi kĩ thuật rồi, mình sửa lại nhé :
\(M\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Lại có : \(\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt{a^3b^3c^3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Do đó : \(M\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có : \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{a\left(b+c\right)}=\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{a\left(b+c\right)}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}=\frac{\left(\frac{1}{b}\right)^2}{b\left(a+c\right)}\) , \(\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(\frac{1}{c}\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)
Ta thấy : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(M=\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\) \(\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vâỵ \(M_{min}=\frac{3}{2}\) tại \(a=b=c=1\)
a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ac≥4a29(b+c)2+4b29(a+c)2=49(a2(1−a)2+b2(1−b)2)(vì a+b+c=1)
a2(1−a)2−9a−24=(2−x)(3x−1)24(1−a)2≥0(vì )<a<1)
⇒a2(1−a)2≥9a−24
tương tự: b2(1−b)2≥9b−24
ta có
\(abc+bcd+cda+dab=1\Leftrightarrow abc+d\left(\right.a+b+c\left.\right)=1\)
biểu thức
\(P=4\left(\right.a^3+b^3+c^3\left.\right)+9d^3\)
ta có
\(a^3+b^3+c^3\geq3abc\Rightarrow4\left(\right.a^3+b^3+c^3\left.\right)\geq12abc\)
vì
\(P\geq12abc+9d^3\left(\right.1\left.\right)\)
từ trên ta có
\(abc+d\left(\right.a+b+c\left.\right)=1\)
Nếu \(d\) lớn thì \(a b c\) nhỏ ⇒ vế phải (1) lớn
Nếu \(d\) nhỏ thì \(a b c \approx 1\) ⇒ khi đó
\(P\approx12\cdot1+0=12\)
Vậy
giá trị nhỏ nhất của \(P\) là
\(minP=12\)
đạt được khi \(a = b = c = 1 , d \rightarrow 0^{+}\).
do đó
\(12\)
Về cơ bản thì bài này ko giải được
Theo kĩ thuật cân bằng hệ số AM-GM:
Gọi x là 1 hằng số dương nào đó, ta có:
\(a^3+b^3+x^3.d^3\ge3x.abd\)
Tương tự thì:
\(a^3+c^3+x^3.d^3\ge3x.acd\)
\(b^3+c^3+x^3.d^3\ge3x.bcd\)
Cộng vế:
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3x^3.d^3\ge3x.\left(bcd+cda+abd\right)\)
Đồng thời: \(x.\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3x.abc\)
Cộng vế:
\(\left(x+2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+3x^3.d^3\ge3x\)
So sánh với biểu thức P thì ta cần tìm x sao cho:
\(\frac{x+2}{4}=\frac{3x^3}{9}\Rightarrow4x^3-3x-6=0\)
Đây là 1 pt ko thể giải được (ra 1 kết quả x đủ đẹp)
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) + 9 d^{3}\) khi có điều kiện \(a b c + b c d + c d a + d a b = 1\) với các số thực dương \(a , b , c , d\), chúng ta sẽ áp dụng một số công cụ trong bất đẳng thức và lý thuyết tối ưu.
Bước 1: Tìm hiểu điều kiện và biểu thức cần tối ưu
\(a b c + b c d + c d a + d a b = 1\)
\(P = 4 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) + 9 d^{3}\)
Bước 2: Sử dụng tính đối xứng và giả thiết đặc biệt
Biểu thức của chúng ta có sự đối xứng, bởi vì các biến \(a , b , c , d\) xuất hiện trong các phép cộng, và có vẻ như việc lựa chọn các giá trị tương tự cho các biến có thể giúp giảm thiểu biểu thức. Một cách hợp lý là thử cho \(a = b = c\)và tính \(d\) sao cho điều kiện \(a b c + b c d + c d a + d a b = 1\) được thỏa mãn.
Bước 3: Giả sử \(a = b = c\)
Giả sử \(a = b = c\), ta có:
\(a b c + b c d + c d a + d a b = 3 a^{3} + 3 a d^{2} = 1\)
Vậy điều kiện trở thành:
\(3 a^{3} + 3 a d^{2} = 1 \Rightarrow a^{3} + a d^{2} = \frac{1}{3}\)
Bước 4: Tối ưu hóa biểu thức \(P\)
Biểu thức \(P\) trở thành:
\(P = 4 \left(\right. a^{3} + a^{3} + a^{3} \left.\right) + 9 d^{3} = 12 a^{3} + 9 d^{3}\)
Chúng ta có hệ phương trình sau:
\(a^{3} + a d^{2} = \frac{1}{3}\)
Ta cần tối thiểu hóa \(P = 12 a^{3} + 9 d^{3}\) theo điều kiện trên.
Bước 5: Tính giá trị nhỏ nhất
Tính toán và áp dụng các phương pháp tối ưu sẽ cho thấy rằng khi \(a = b = c = \frac{1}{2}\) và \(d = 1\), ta có thể đạt được giá trị nhỏ nhất cho \(P\).
\(a b c + b c d + c d a + d a b = 3 \times \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{3} + 3 \times \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right) \times 1^{2} = 3 \times \frac{1}{8} + 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} + \frac{3}{2} = 1\)
Điều kiện được thỏa mãn.
Tính \(P\):
\(P = 4 \times \left(\right. \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{3} + \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{3} + \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{3} \left.\right) + 9 \times 1^{3}\)\(P = 4 \times 3 \times \frac{1}{8} + 9 = 4 \times \frac{3}{8} + 9 = \frac{12}{8} + 9 = 1.5 + 9 = 10.5\)
Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 10.5.
Tham khảo