S B C D A M N

Ta có : MN là đường trung bình của tam giác SAD

Suy ra MN song song với AD và \(MN=\frac{1}{2}AD\Rightarrow\begin{cases}MN||BC\\MN=BC\end{cases}\)\(\Rightarrow\) BCNM là hình bình hành (1)

Mặt khác 

\(\begin{cases}BC\perp AB\\BC\perp SA\end{cases}\)\(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp BM\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ra suy ra BCNM là hình chữ nhật

Ta có :

\(S_{BCNM}=2S_{\Delta BCM}\Rightarrow V_{S.BCNM}=2V_{S.BCM}\)

\(V_{S.BCM}=V_{C.SBM}=\frac{1}{3}CB.S_{\Delta SBM}=\frac{1}{6}CB.S_{\Delta SAB}=\frac{1}{6}CB.\frac{1}{2}SA.AB=\frac{a^3}{6}\)

Vậy \(V_{S.BCNM}=\frac{a^3}{3}\)

Phương pháp

+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d  và đường thẳng d' với d' là hình chiếu của d  trên mặt phẳng (P).

+ Thể tích hình chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V = 1 3 h S

Cách giải:

+ Ta có SA  ⊥  (ABCD) => AB là hình chiếu của

SB lên mặt phẳng (ABCD) . Suy ra góc giữa SB và đáy là góc ∠  SBA = 60⁰.

+ Xét tam giác vuông SAB có: 

+ Diện tích đáy

+ Thể tích khối chóp là

Chọn C. 

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$ nên $AD \parallel BC,\ AB \perp AD,\ CD \perp AD$.

Ta có: $AD = 2a,\ AB = 2a,\ DC = a$ nên $BC = a$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot 2a}{2} = 3a^2$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên chiều cao là $SA$.

Xét tam giác $SAB$, ta có góc giữa $SB$ và đáy bằng $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SB}$.

Mặt khác:

$SB^2 = SA^2 + AB^2$.

Suy ra: $\left(\dfrac{SA}{\sin60^\circ}\right)^2 = SA^2 + (2a)^2$.

$\Rightarrow \dfrac{SA^2}{\frac{3}{4}} = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{4}{3}SA^2 = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3}SA^2 = 4a^2$

$\Rightarrow SA^2 = 12a^2$

$\Rightarrow SA = 2a\sqrt3$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot 2a\sqrt3 = 2a^3\sqrt3$.

$\boxed{V = 2a^3\sqrt3}$.

Chọn C.

Dap an D

Chọn C

Ta gọi E, F lần lượt là trung điểm của SC, AB

Ta có ME//NF(do cùng song song với BC. Nên tứ giác MENF là hình thang, và 

hay tứ giác MENF là hình thang vuông tại M, F

Ta có:  hay E là hình chiếu vuông góc của N lên (SAC)

Từ đó ta có được, góc giữa MN và (SAC) là góc giữa MN và CI

Suy ra, gọi  α là góc giữa MN và (SAC) thì 

Do \(\left(SC;\left(ABCD\right)\right)=45^0;SA\perp\left(ABCD\right)\)

nên \(\left\{{}\begin{matrix}\left(SC;AC\right)=45^0\\AS\perp AC\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow AS=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{6}.\left(AD+BC\right).AB.AS\)

\(=\dfrac{1}{6}\left(2a+a\right).a.a\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a^3\)

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a^3$

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Chiều cao:

$SH = \dfrac{3 V}{S_{ABCD}} = \dfrac{3 \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5} a^3}{3 a^2} = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là góc giữa cạnh bên $SC$ và đáy. Theo bài, tính ra: $\widehat{(SBC, ABCD)} = 60^\circ$