Đáp án C

Trong (ABC) có EF ∩ AC =  I

⇒ I ∈ (ACD)

Xét (ACD) có: IG ∩ AD =  H

⇒ EFGH là thiết diện cần tìm

Đáp án A

Trong mặt phẳng (BCD),  F G ∩ B D = H

H ∈ BD ⇒ H ∈ (ABD)

Trong (ABD),  E H ∩ A D = I

⇒ tứ giác EFGI là thiết diện cần tìm

Trong mp(BCD) gọi \(I=FG\cap BD\)

Trong mp (ADB) gọi \(H=IE\cap AD\)

Khi đó HG = \(\left(EFG\right)\cap\left(ACD\right)\)

Áp dụng định lí menelaus cho tam giác BCD với 3 giao điểm I,G,F thẳng hàng ta có:

\(\dfrac{ID}{IB}.\dfrac{FB}{FC}.\dfrac{GC}{GD}=1=>\dfrac{ID}{IB}=\dfrac{1}{4}\)

Xét tam giác ABD với 3 điểm thẳng hàng I,H,E thẳng hàng ta có:

\(\dfrac{HD}{HA}.\dfrac{EA}{EB}.\dfrac{IB}{ID}=1\) => \(\dfrac{HD}{HA}=\dfrac{1}{4}=>HD=\dfrac{a}{5}\)

Xét tam giác HDG:

\(HG^2=HD^2+DG^2-2DH.DG.cos60^o=\dfrac{a^2}{25}+\dfrac{a^2}{9}-\dfrac{a^2}{15}=\dfrac{19a^2}{225}\)

=> HG \(=\dfrac{\sqrt{19}}{15}a\)

b) Trong (SCD): Gọi M là giao của GF và CD.

Trong (SBD): Gọi N là giao của EG và BD.

Trong (ABCD): Gọi H là giao của AC và MN.

Vậy H là giao của đường thẳng AC và (EFG).

FG là đường trung bình tam giác (ACD) nên FG//CD

Gọi H là trung điểm của BD => EH là đường trung bình tam giác BCD

\(\Rightarrow EH//CD\Rightarrow H\in\left(EFG\right)\)

\(\Rightarrow EFGH\) là tiết diện của tứ diện và (EFG)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}EF=GH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\\FG=EH=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}\end{matrix}\right.\) (t/c đường trung bình)

\(\Rightarrow EFGH\) là hình thoi

Mặt khác do tính chất của tứ diện đều nên \(EG=HF\)

\(\Rightarrow EFGH\) là hình vuông

Diện tích tiết diện: \(EF^2=\frac{a^2}{4}\)

a) Gọi \(N=DK\cap AC;M=DJ\cap BC\).

Ta có \(\left(DJK\right)\cap\left(ABC\right)=MN\Rightarrow MN\subset\left(ABC\right)\)

Vì \(L=\left(ABC\right)\cap JK\) nên dễ thấy \(L=JK\cap MN\)