Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
=>a=bk; c=dk
\(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\left(\frac{bk+b}{dk+d}\right)^2=\left(\frac{b\left(k+1\right)}{d\left(k+1\right)}\right)^2=\left(\frac{b}{d}\right)^2\)
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(dk\right)^2+d^2}=\frac{b^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\)
Do đó: \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)
vì \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)=>\(\frac{ac}{bd}=\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
=>đpcm
Cách khác:
Dat \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) thì \(a=bk;c=dk\)\(\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=k^2\left(1\right)\)
\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)\(=\frac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}\)\(=\frac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\)\(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
đặt a/b=c/d=k thế thì a=bk;c=dk
thay vào biểu thức ta được :
\(\frac{ac}{bd}=\frac{\left(bk\right)\left(dk\right)}{bd}=\frac{bd.k^2}{bd}=k^2\left(1\right)\)
\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2.k^2+d^2.k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(2\right)\)
từ (1) và (2)=>đpcm
ta có: a/b = c/d = (a + c)/ (b + d) = (c - a)/ (d - b)
điều cần chứng minh là:
(a2 + ac) / (c2 - ac) = (b2 + bd) / (d2 - bd) => (a2 + ac) / (b2 + bd) = (c2 - ac) / (d2 - bd)
= a (a + c) / b (b + d) = c (c - a) / d (d - b)
mà theo chứng minh trên ta có:
a/b = c/d ; (a + c)/ (b + d) = (c - a)/ (d - b)
từ đó ta => (a2 + ac) / (c2 - ac) = (b2 + bd) / (d2 - bd) (đpcm)
ta có: a/b = c/d = (a + c)/ (b + d) = (c - a)/ (d - b)
điều cần chứng minh là:
(a2 + ac) / (c2 - ac) = (b2 + bd) / (d2 - bd) => (a2 + ac) / (b2 + bd) = (c2 - ac) / (d2 - bd)
= a (a + c) / b (b + d) = c (c - a) / d (d - b)
mà theo chứng minh trên ta có:
a/b = c/d ; (a + c)/ (b + d) = (c - a)/ (d - b)
từ đó ta => (a2 + ac) / (c2 - ac) = (b2 + bd) / (d2 - bd) (đpcm)
Ta có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}=\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
Vậy \(\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
Giả sử tất cả các tỷ lệ thức đều có nghĩa.
Từ: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{d}=\frac{ab}{cd}\)
Tương tự từ tỷ lệ thức ban đầu \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)cũng suy ra: \(\frac{ac}{bd}=\frac{a^2-c^2}{b^2-d^2}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=k\Rightarrow b=k.b\)
\(\frac{c}{d}=k\Rightarrow c=k.d\)
Ta có : \(\frac{ac}{bd}=\frac{k^2.bd}{bd}=k^2\) (1)
\(\frac{d^2-c^2}{b^2-d^2}=\frac{kb^2-kd^2}{b^2+d^2}\)
\(=\frac{k^2\left(b^2-d^2\right)}{b^2-d^2}=k^2\) (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Làm lại :
Đặt : \(\frac{a}{b}=k\) => b=k.b
\(\frac{c}{d}=k\) => c = k.d
Ta có : \(\frac{ac}{bd}=\frac{k^2.bd}{bd}=\frac{k^2.1}{1}=k^2\) (1)
\(\frac{d^2-c^2}{b^2-d^2}=\frac{kb^2-kd^2}{b^2-d^2}\)
\(=\left(\frac{k\left(b-d\right)}{b-d}\right)^2\)
\(=\frac{k^2\left(b^2-d^2\right)}{b^2-d^2}=\frac{k^2.1}{1}=k^2\) (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
✅ Bước 1: Hiểu điều kiện
Ta có:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k (\text{g}ọ\text{i}\&\text{nbsp};đ \hat{\text{a}} \text{y}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{t}ỉ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{chung})\)
=> Từ đó, suy ra:
\(a = k b , c = k d\)
✅ Bước 2: Thay vào biểu thức cần chứng minh
Biểu thức vế trái:
\(\frac{a^{2} + c^{2}}{b^{2} + d^{2}}\)
Thay \(a = k b\), \(c = k d\), ta được:
\(\frac{\left(\right. k b \left.\right)^{2} + \left(\right. k d \left.\right)^{2}}{b^{2} + d^{2}} = \frac{k^{2} b^{2} + k^{2} d^{2}}{b^{2} + d^{2}} = \frac{k^{2} \left(\right. b^{2} + d^{2} \left.\right)}{b^{2} + d^{2}} = k^{2}\)
✅ Vế phải:
\(\frac{b d}{a c}\)
Vì \(a = k b\), \(c = k d\), thay vào:
\(\frac{b d}{a c} = \frac{b d}{\left(\right. k b \left.\right) \left(\right. k d \left.\right)} = \frac{b d}{k^{2} b d} = \frac{1}{k^{2}}\)
❌ Nhận xét:
Vế trái: \(k^{2}\)
Vế phải: \(\frac{1}{k^{2}}\)
=> Hai vế chỉ bằng nhau khi \(k^{2} = \frac{1}{k^{2}} \Rightarrow k^{4} = 1 \Rightarrow k = \pm 1\)
✅ Kết luận:
Biểu thức:
\(\frac{a^{2} + c^{2}}{b^{2} + d^{2}} = \frac{b d}{a c}\)
chỉ đúng khi \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \pm 1\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
=>a=bk; c=dk
\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\)
\(\frac{ac}{db}=\frac{bk\cdot dk}{bd}=k^2\)
Do đó: \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{ac}{bd}\)