Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy

Các bạn ơi giúp mình với ạ, cảm ơn nhiều!

Ta dễ dàng thấy được \(2^y\ge2\Rightarrow y\ge1\)

Xét \(y=1\Rightarrow x=0\)

Xét \(y>1\Rightarrow2^y⋮4\)

Ta chia 2 trường hợp

TH 1: \(x=2k+1\)

\(\Rightarrow5^{2k+1}+1=2.3.\left(5^{2k}-5^{2k-1}+...\right)\)

Nhận xét VT có ít nhất trong tích 1 số lẻ (3) còn vế phải là luỹ thừa của 2 nên không tồn tại giá trị thoả mãn bài toán.

TH 2: \(x=2k\left(k\ne0\right)\)

\(\Rightarrow5^{2k}+1=25^k+1\equiv2\left(mod4\right)\)

Ta có VT không chia hết cho 4 còn VP chia hết cho 4 nên loại trường hợp này.

Vậy PT có nhiệm là: \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)

Câu hỏi của Phan Minh Trung - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của Trần Đức Mạnh - Toán lớp 7 | Học trực tuyến

â, đánh giá về trái ta có

\(\sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}>=1\)

\(\sqrt{9y^2-6y+1}>=0\)

do đó dấu bằng xảy ra khi x=2 va y=1/3

phần b làm tương tự

b, VT <=2-1=1

bài này sử dụng phương pháp đánh giá
 

1) \(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge8\)

\(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\)\(\Leftrightarrow\)\(xy=2\left(x+y\right)\ge16\)

\(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt[4]{xy}\ge2\sqrt[4]{16}=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=4\)

2) \(B=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\ge\sqrt{3x-5+7-3x}=\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\x=\frac{7}{3}\end{cases}}\)

\(B=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\le\frac{3x-5+1+7-3x+1}{2}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=2\)

(Lời giải có thể hơi khó hiểu một chút)

Đề bài yêu cầu ta giải pt nghiệm nguyên \(2^x+5^y=n^2\)

Ta xét modulo 5. Rõ ràng \(n^2=0,1,4\left(mod5\right)\) nên \(2^x=0,1,4\left(mod5\right)\)

\(2^1=2\left(mod5\right)\), \(2^2=4\left(mod5\right)\), \(2^3=3\left(mod5\right)\), \(2^4=1\left(mod5\right)\) và sau đó quay vòng lại.

Từ đó ta thấy số dư của \(2^n\) khi chia cho 5 lặp lại theo chu kì 4 đơn vị.

Đồng thời, để \(2^x=0,1,4\left(mod5\right)\) thì \(x=0,2\left(mod4\right)\) hay \(x\) chẵn.

Đặt \(x=2k\). Pt thành \(4^k+5^y=n^2\)

-----

Ta chuyển sang xét modulo 3.

Do \(4^k=1\left(mod3\right)\) và \(n^2=0,1\left(mod3\right)\) và \(5^y=\left(-1\right)^y\left(mod3\right)\) nên \(y\) lẻ.

(Chỗ này mình ghi tắt. Bạn thử suy luận xem tại sao \(y\) chẵn không được nhé).

------

Trong pt cần giải ta biến đổi thành: \(5^y=n^2-4^k=\left(n-2^k\right)\left(n+2^k\right)\).

Vế trái chỉ gồm tích các số 5, do đó ta có: \(\hept{\begin{cases}n-2^k=5^b\\n+2^k=5^a\end{cases}}\) và \(b< a,a+b=y\).

Lấy hai vế trừ nhau ta có: \(2^{k+1}=5^a-5^b=5^b\left(5^{a-b}-1\right)\).

Vế trái không chia hết cho 5, nếu \(b\ge1\) thì vế phải sẽ chia hết cho 5 nên không được.

Vậy \(b=0,a=y\) và ta có \(2^{k+1}=5^y-1\).

-----

Ta viết \(5^y-1=\left(5-1\right)\left(5^{y-1}+5^{y-2}+...+5+1\right)\).

Để ý thấy, từ \(5^{y-1}\) tới \(5^0\) có \(y\) số lẻ, tức là tổng của chúng lẻ.

Chứng tỏ tổng này không là lũy thừa của 2, trừ trường hợp tổng đó là 1.

Tức là \(y=1\). Từ việc \(5^y-1=2^{k+1}\) suy ra \(k=1,x=2\).

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\) là nghiệm duy nhất của pt.

Ta có:

\(36^x-5^y=11\)

+) Nếu y lẻ thì:

\(5^y\equiv-1\left(mod6\right)\)

\(36^x\equiv0\left(mod6\right)\)

\(\Rightarrow36^x-5^y\equiv1\left(mod6\right)\).  \(\)Mà :  \(11\equiv-1\left(mod6\right)\)

Do đó:  x chẵn. Đặt x=2k( k là số tự nhiên)

Khi đó:  \(36^x-5^{2k}=11\Leftrightarrow\left(6^x-5^k\right)\left(6^x+5^k\right)=11\)

Đến đây bạn tự tìm x, y nha.....

ta thấy VT chia hết cho 6 => VP chia hết cho 6 => \(5^z\equiv-1\left(mod6\right)\)

=> (-1)^z \(\equiv\)-1 (mod 6) => z lẻ

xét x=y=z=1 (thỏa mãn)

xét z>1 => z,y>1, ta có pt <=> 2^x.3^y=(5+1)(5^z-1-5^z-2+....-1)

<=> 2^x-1.3^y-1\(\equiv\)-1 (mod 2) vô lý vì VT chẵn)

vậy pt có nghiệm nguyên dương là x=y=z=1