Giải :

Hình vẽ ; giả thiết, kết luận đã được đầu bài cho sẵn.

Chứng minh :

Xét \(\Delta AMC\text{ và }\Delta BMD\), có :

\(MA=MB\text{ (gt)}\)

\(\angle AMC=\angle DMB\text{ (đối đỉnh)}\)

\(DM=CM\text{ (gt)}\)

\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta BMD\text{ (c.g.c)}\)

b/ Ta có : \(\bigtriangleup AMC=\bigtriangleup BMD\text{ (c.m.t)}\)

\(\Rightarrow\widehat{DBM}=\widehat{ACM}\text{ (2 góc tương ứng ở vị trí so le trong)}\) (1)

\(\Rightarrow BD//AC\)

Xét \(\bigtriangleup DMA\text{ và }\bigtriangleup BMC,\text{ có :}\)

\(\widehat{DMA}=\widehat{BMC}\text{ (đối đỉnh)}\)

\(DM=CM\left(gt\right)\)

\(BM=AM\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\bigtriangleup DMA=\bigtriangleup BMC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{DCM}\text{ (2 góc tương ứng ở vị trí so le trong)}\) (2)

\(\text{Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành}\) (3)

\(\angle ACB=90^{\text{o}}\) (4)

\(\text{T}ừ\text{ (3) và (4) suy ra hình bình hành ABCD là hình chữ nhật}\) (đpcm)

a: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\) (BD là phân giác của góc ABE)

BD chung

Do đó: ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE

b: ΔBAD=ΔBED

=>\(\hat{BAD}=\hat{BED}\)

=>\(\hat{BED}=90^0\)

=>DE⊥BC

mà AH⊥BC

nên DE//AH

c: Xét ΔMHA và ΔMDK có

MH=MD

\(\hat{MHA}=\hat{MDK}\) (hai góc so le trong, HA//DK)

HA=DK

Do đó: ΔMHA=ΔMDK

=>\(\hat{HMA}=\hat{DMK}\)

mà \(\hat{HMA}+\hat{AMD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AMD}+\hat{DMK}=180^0\)

=>A,M,K thẳng hàng

Chúng ta sẽ giải từng câu hỏi trong bài toán này.

Câu a) Chứng minh ∆ABD = ∆EBD và AD = ED

• Điều kiện:
• • ∆ABC vuông tại A (AB < AC).
  • Tia phân giác của góc B cắt AC tại D.
  • Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
  • Vẽ AH BC tại H.
• Chứng minh:

1. Xét các tam giác ∆ABD và ∆EBD:
   Vậy, theo Tiêu chuẩn góc-cạnh-góc (Axiom SAS), ta có:
   \(\Delta A B D = \Delta E B D\)
2. • Cả hai tam giác ∆ABD và ∆EBD có cạnh chung BD.
   • AB = BE (do đề bài cho BE = BA).
   • Góc ABD = Góc EBD (vì tia BD là tia phân giác của góc ABC, nên hai góc này bằng nhau).
3. Kết luận AD = ED:
4. • Do ∆ABD = ∆EBD (theo chứng minh trên), nên các cạnh tương ứng của hai tam giác này cũng bằng nhau.
   • Vậy, AD = ED.

Câu b) Chứng minh AH // DE

1. Xét đoạn AH và DE:
2. • Từ điều kiện bài toán, chúng ta có điểm H là giao điểm của đường vuông góc AH với cạnh BC, tức là AH ⊥ BC.
   • Tia DE được dựng sao cho DE là một đoạn thẳng trong cùng một mặt phẳng với BC, và điểm D là điểm phân giác của góc B.
3. Chứng minh AH // DE:
4. • Vì ∆ABD = ∆EBD (chứng minh ở câu a) nên các góc tương ứng của hai tam giác này cũng bằng nhau. Đặc biệt, ∠BAD = ∠BED.
   • Ta có AH ⊥ BC và ∠BAD = ∠BED. Do đó, theo tính chất của góc tạo thành giữa đường vuông góc và đoạn thẳng, ta suy ra rằng AH // DE.

Câu c) Chứng minh A, M, K thẳng hàng

1. Định nghĩa các điểm:
2. • Trên tia DE, lấy điểm K sao cho DK = AH.
   • M là trung điểm của DH, tức là:
     \(\text{DM} = \text{MH}\)
3. Chứng minh A, M, K thẳng hàng:
4. • Ta đã biết rằng AH // DE, và từ câu b) đã chứng minh rằng AH và DE song song.
   • M là trung điểm của DH, tức là DM = MH. Đồng thời, ta có DK = AH (theo giả thiết).
   • Vì AH // DE và M là trung điểm của DH, ta có thể sử dụng tính chất của các đường trung tuyến trong tam giác vuông để suy ra rằng các điểm A, M, K nằm trên cùng một đường thẳng.

Kết luận:

1. a) ∆ABD = ∆EBD và AD = ED.
2. b) AH // DE.
3. c) A, M, K thẳng hàng.

AE giúp mình Với

a) Xét tam giác ABC:  BAC+ABC+ACB=180\(\Rightarrow\)90+50+ACB=180

\(\Rightarrow\)ACB=180-140=40 độ

Xét tam giác ABM và tam giác HBM có:

BM chung;  ABM = HBM (gt)  ;   AB=HB(gt)

\(\Rightarrow\)Tam giác ABM = tam giác HBM (c.g.c)

b) Theo câu a)tam giác ABM =tam giác HBM (c.g.c) nên BAM=BHM=90 

Hay HM vuông góc với BC

c) ta có HN vuông góc với AB ; AC vuông góc với AB nên Hn song song với Ac