Bài toán 1:

Cho các số tự nhiên \(x , y\) thỏa mãn \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\) là số nguyên. Chứng minh rằng \(x\) và \(y\) là các số chính phương.

Giải:

Giả sử \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = k\) với \(k\) là số nguyên.

Ta có:

\(\sqrt{x} + \sqrt{y} = k\)

Chuyển vế:

\(\sqrt{x} = k - \sqrt{y}\)

Bình phương hai vế:

\(x = \left(\right. k - \sqrt{y} \left.\right)^{2} = k^{2} - 2 k \sqrt{y} + y\)

Vậy:

\(x = k^{2} + y - 2 k \sqrt{y}\)

Để vế phải là một số nguyên, điều kiện là \(2 k \sqrt{y}\) phải là một số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \(\sqrt{y}\) là một số nguyên, tức là \(y\) là một số chính phương.

Do đó, \(y\) là một số chính phương.

Từ \(\sqrt{x} = k - \sqrt{y}\), ta cũng có thể kết luận rằng \(x\) phải là một số chính phương, vì \(\sqrt{x}\) là một số nguyên. Do đó, \(x\) là một số chính phương.

Kết luận: \(x\) và \(y\) là các số chính phương.

Bài toán 2:

Tìm các số tự nhiên \(n\) sao cho \(\sqrt{n^{2} + 3} + \sqrt{n^{2} + 8}\) là số nguyên.

Giải:

Gọi:

\(\sqrt{n^{2} + 3} + \sqrt{n^{2} + 8} = k\)

với \(k\) là một số nguyên.

Ta sẽ bình phương cả hai vế:

\(\left(\right. \sqrt{n^{2} + 3} + \sqrt{n^{2} + 8} \left.\right)^{2} = k^{2}\)

Mở rộng vế trái:

\(n^{2} + 3 + n^{2} + 8 + 2 \sqrt{\left(\right. n^{2} + 3 \left.\right) \left(\right. n^{2} + 8 \left.\right)} = k^{2}\)\(2 n^{2} + 11 + 2 \sqrt{\left(\right. n^{2} + 3 \left.\right) \left(\right. n^{2} + 8 \left.\right)} = k^{2}\)

Chuyển vế:

\(2 \sqrt{\left(\right. n^{2} + 3 \left.\right) \left(\right. n^{2} + 8 \left.\right)} = k^{2} - 2 n^{2} - 11\)

Chia đôi hai vế:

\(\sqrt{\left(\right. n^{2} + 3 \left.\right) \left(\right. n^{2} + 8 \left.\right)} = \frac{k^{2} - 2 n^{2} - 11}{2}\)

Bình phương cả hai vế:

\(\left(\right. n^{2} + 3 \left.\right) \left(\right. n^{2} + 8 \left.\right) = \left(\left(\right. \frac{k^{2} - 2 n^{2} - 11}{2} \left.\right)\right)^{2}\)

Dễ thấy đây là một phương trình bậc 4 và việc giải trực tiếp khá phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thử với một số giá trị nhỏ của \(n\) để tìm ra các giá trị thỏa mãn.

Thử với các giá trị nhỏ của \(n\):

1. Với \(n = 1\):
   \(\sqrt{1^{2} + 3} + \sqrt{1^{2} + 8} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5\)
   Đây là một số nguyên, vì vậy \(n = 1\) là một nghiệm.
2. Với \(n = 2\):
   \(\sqrt{2^{2} + 3} + \sqrt{2^{2} + 8} = \sqrt{7} + \sqrt{12}\)
   Đây không phải là một số nguyên, vì \(\sqrt{7}\) và \(\sqrt{12}\) không phải là các số nguyên.
3. Với \(n = 3\):
   \(\sqrt{3^{2} + 3} + \sqrt{3^{2} + 8} = \sqrt{12} + \sqrt{17}\)
   Đây không phải là một số nguyên, vì \(\sqrt{12}\) và \(\sqrt{17}\) không phải là các số nguyên.

Kết luận:

Sau khi thử các giá trị nhỏ của \(n\), ta thấy rằng chỉ có \(n = 1\) là giá trị thỏa mãn điều kiện \(\sqrt{n^{2} + 3} + \sqrt{n^{2} + 8}\) là số nguyên.

Vậy \(n = 1\) là giá trị duy nhất thỏa mãn.

Tham khảo