Để giải phương trình nghiệm nguyên \(3 x^{2} + y^{2} + 4 x y - 8 x - 2 y = 0\), chúng ta sẽ thử phân tích phương trình và tìm ra các giá trị nguyên cho \(x\) và \(y\).

Bước 1: Sắp xếp phương trình

Phương trình ban đầu là:

\(3 x^{2} + y^{2} + 4 x y - 8 x - 2 y = 0.\)

Ta sẽ nhóm các hạng tử để dễ dàng nhìn ra cấu trúc:

\(3 x^{2} + 4 x y + y^{2} - 8 x - 2 y = 0.\)

Phương trình này có hai biến \(x\) và \(y\), vì vậy chúng ta cần tìm cách giải nó với các giá trị nguyên.

Bước 2: Thử các giá trị của \(x\) và giải phương trình theo \(y\)

Phương pháp thử nghiệm sẽ bắt đầu bằng việc gán các giá trị nguyên cho \(x\) và sau đó giải phương trình theo \(y\).

Thử \(x = 0\):

Khi \(x = 0\), phương trình trở thành:

\(3 \left(\right. 0 \left.\right)^{2} + y^{2} + 4 \left(\right. 0 \left.\right) \left(\right. y \left.\right) - 8 \left(\right. 0 \left.\right) - 2 y = 0 ,\)\(y^{2} - 2 y = 0 ,\)\(y \left(\right. y - 2 \left.\right) = 0.\)

Do đó, \(y = 0\) hoặc \(y = 2\). Vậy, hai cặp nghiệm nguyên khi \(x = 0\) là:

\(\left(\right. 0 , 0 \left.\right) \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \left(\right. 0 , 2 \left.\right) .\)

Thử \(x = 1\):

Khi \(x = 1\), phương trình trở thành:

\(3 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} + y^{2} + 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. y \left.\right) - 8 \left(\right. 1 \left.\right) - 2 y = 0 ,\)\(3 + y^{2} + 4 y - 8 - 2 y = 0 ,\)\(y^{2} + 2 y - 5 = 0.\)

Giải phương trình bậc 2 theo \(y\) bằng công thức nghiệm:

\(y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 5 \left.\right)}}{2 \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2} .\)

Vì \(\sqrt{24}\) không phải là một số nguyên, nên phương trình này không có nghiệm nguyên.

Thử \(x = 2\):

Khi \(x = 2\), phương trình trở thành:

\(3 \left(\right. 2 \left.\right)^{2} + y^{2} + 4 \left(\right. 2 \left.\right) \left(\right. y \left.\right) - 8 \left(\right. 2 \left.\right) - 2 y = 0 ,\)\(12 + y^{2} + 8 y - 16 - 2 y = 0 ,\)\(y^{2} + 6 y - 4 = 0.\)

Giải phương trình bậc 2 theo \(y\):

\(y = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 4 \left.\right)}}{2 \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 16}}{2} = \frac{- 6 \pm \sqrt{52}}{2} .\)

Vì \(\sqrt{52}\) không phải là một số nguyên, nên phương trình này cũng không có nghiệm nguyên.

Thử \(x = 3\):

Khi \(x = 3\), phương trình trở thành:

\(3 \left(\right. 3 \left.\right)^{2} + y^{2} + 4 \left(\right. 3 \left.\right) \left(\right. y \left.\right) - 8 \left(\right. 3 \left.\right) - 2 y = 0 ,\)\(27 + y^{2} + 12 y - 24 - 2 y = 0 ,\)\(y^{2} + 10 y + 3 = 0.\)

Giải phương trình bậc 2 theo \(y\):

\(y = \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. 3 \left.\right)}}{2 \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2} = \frac{- 10 \pm \sqrt{88}}{2} .\)

Vì \(\sqrt{88}\) không phải là một số nguyên, nên phương trình này cũng không có nghiệm nguyên.

Bước 3: Kết luận

Qua các bước thử nghiệm, ta thấy rằng nghiệm nguyên của phương trình \(3 x^{2} + y^{2} + 4 x y - 8 x - 2 y = 0\) chỉ có hai cặp nghiệm là:

\(\left(\right. 0 , 0 \left.\right) \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \left(\right. 0 , 2 \left.\right) .\)

Vậy, các nghiệm nguyên của phương trình là \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\) và \(\left(\right. 0 , 2 \left.\right)\).

Tham khảo