Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2-mx-2=0\)
có \(\Delta=\left(-m\right)^2-4.\left(-2\right)=m^2+8>0\forall m\)
theo định lí vi - ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1.x_2=-2\end{cases}}\)
theo bài ra \(2x_1-x^2_1-x_2^2+2x_2\)
\(=2\left(x_1+x_2\right)-\left(x^2_1+x_2^2\right)\)
\(=2\left(x_1+x_2\right)-\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2\right]\)
\(=2m-\left[m^2-2.\left(-2\right)\right]\)
\(=2m-\left(m^2+4\right)\)
\(=2m-m^2-4\)
\(=-\left(m^2-2m+4\right)\)
\(=-\left[\left(m-1\right)^2+3\right]\)
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì tự làm nha.
Áp dụng vi-et ta được
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P=2\left(x_1+x_2\right)-\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]\)
\(=2m-\left(m^2+4\right)=-3-\left(m-1\right)^2\le-3\)
có \(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-m^2+m+5\)
\(\Delta'=m^2-2m+1-m^2+m+5\)
\(\Delta'=-m+6\)
để pt (1) có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) \(\Leftrightarrow-m+6>0\)
\(\Leftrightarrow m< 6\)
theo định lí \(Vi-et\) \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1.x_2=m^2-m-5\end{cases}}\)
theo bài ra \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{10}{3}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2}+\frac{10}{3}=0\) ( \(x_1.x_2\ne0\Leftrightarrow m^2-m-5\ne0\))
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2}=\frac{-10}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(2m-2\right)^2-2.\left(m^2-m-5\right)}{m^2-m-5}=-\frac{10}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4m^2-8m+4-2m^2+2m+10}{m^2-m-5}=\frac{-10}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(2m^2-6m+14\right).3=-10.\left(m^2-m-5\right)\)
\(\Leftrightarrow6.\left(m^2-3m+7\right)=-10.\left(m^2-m-5\right)\)
\(\Leftrightarrow-3m^2+9m-21=5m^2-5m-25\)
\(\Leftrightarrow-3m^2+9m-21-5m^2+5m+25=0\)
\(\Leftrightarrow-8m^2+14m+4=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-7m-2=0\) \(\left(2\right)\)
từ PT (2) có \(\Delta=\left(-7\right)^2-4.4.\left(-2\right)=49+32=81>0\Rightarrow\sqrt{\Delta}=9\)
vì \(\Delta>0\) nên PT có 2 nghiệm phân biệt
\(m_1=\frac{7-9}{8}=\frac{-1}{4}\) ( TM ĐK
\(m_2=\frac{7+9}{8}=2\) \(m< 6\)và \(m^2-m-5\ne0\))
Bài này bạn áp dụng vi-ét là ra ngay nha !
Chúc bạn học tốt !
Bạn tham khảo tại đây nhé:
Câu hỏi của KHÔNG CẦN BIẾT - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
a, thay m = 3 vào pt ta đc
x2 - ( 2 . 3 +1)x + 2.3 = 0
x2 - 7x + 6 =0
ta có a + b+c= 1 -7 + 6=0
\(\Rightarrow\)pt có 2 nghiệm pb x1 = 1
x2 = 6
b, x2 - (2m +1 )x + 2m=0
\(\Delta\)= [ - (2m + 1 )]2 - 4.2m
= 4m2 + 4m + 1 - 8m
= 4m2 - 4m + 1
= (2m-1)2 \(\ge\)0 \(\forall\)m
để pt có 2 nghiệm pb thì 2m - 1 \(\ne\)0
m \(\ne\)1/2
theo hệ thức vi ét ta có
x1 + x2 = 2m + 1
x1 x2 = 2m
ta có | x1| - |x2| = 2
( |x1| - |x2| )2 = 4
x12 - 2 |x1x2| + x22 =4
x12 + 2 x1x2 + x22 - 2x1x2 - 2 | x1x2| = 4
( x1 + x2)2 - 2 |x1x2| = 4
(2m + 1 )2 - 2|2m|=4 (1 )
+, nếu 2m \(\ge\)0 \(\Rightarrow\)m \(\ge\)0 thì
(1)\(\Leftrightarrow\)(2m + 1)2 - 4m = 4
4m2 + 4m + 1 - 4m = 4
4m2 = 3
m2 = 3/4
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(tm\right)\\m=-\frac{\sqrt{3}}{4}\left(ktm\right)\end{cases}}\)
+, 2m < 0 suy ra m < 0 thì
(1) : (2m + 1 )2 + 4m =4
4m2 + 4m + 1 + 4m = 4
4m2 + 8m - 3 =0
\(\Delta\)= 64 + 4.4.3 = 112 > 0
pt có 2 nghiệm pb x1 = \(\frac{-8+\sqrt{112}}{8}\)= \(\frac{-2+\sqrt{7}}{2}\)(ko tm)
x2 = \(\frac{-2-\sqrt{7}}{2}\)(tm)
vậy m \(\in\){\(\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(\frac{-2-\sqrt{7}}{2}\)} thì ...........
ko bt có đúng ko nữa
#mã mã#
Bài 2 :
a,- Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì : \(\Delta>0\)
<=> \(m^2-4.1.\left(2m-4\right)>0\)
<=> \(m^2-8m+16>0\)
<=> \(\left(m-4\right)^2>0\)
<=> \(m-4>0\)
<=> \(m>4\)
- Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là :
\(x_1=\frac{m+\sqrt{m-4}}{2},x_2=\frac{m-\sqrt{m-4}}{2}\)
a, Ta có : \(x^2_1+x_2^2=13\)
=> \(\left(\frac{m+\sqrt{m-4}}{2}\right)^2+\left(\frac{m-\sqrt{m-4}}{2}\right)^2=13\)
=> \(\left(m+\sqrt{m-4}\right)^2+\left(m-\sqrt{m-4}\right)^2=52\)
=> \(m^2+2m\sqrt{m-4}+m-4+m^2-2m\sqrt{m-4}+m-4-52=0\)
=> \(2m^2+2m-60=0\)
=> \(m^2+m-30=0\)
=> \(m^2+\frac{m.2.1}{2}+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}\)
=> \(\left(m+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{121}{4}\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{\frac{121}{4}}-\frac{1}{2}=5\left(TM\right)\\m=-\sqrt{\frac{121}{4}}-\frac{1}{2}=-6\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy m có giá trị bằng 5 thỏa mãn điều kiện .
b, Làm tương tự nha .
Để giải bài toán này, ta sẽ đi qua từng bước để tìm giá trị của \(m\) sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện đã cho.
Phương trình bậc 2 đã cho:
\(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + m^{2} - 3 = 0.\)
Đây là một phương trình bậc 2 với tham số \(m\). Ta cần tìm giá trị của \(m\) sao cho phương trình này có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}\) và \(x_{2}\) thỏa mãn điều kiện:
\(x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 6 x_{1} + 2 x_{2} + 8 = 0.\)
Bước 1: Tính điều kiện để phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt
Phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu delta (định thức) của phương trình bậc 2 lớn hơn 0. Ta tính delta của phương trình \(a x^{2} + b x + c = 0\) theo công thức:
\(\Delta = b^{2} - 4 a c .\)
Với phương trình:
\(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + \left(\right. m^{2} - 3 \left.\right) = 0 ,\)
ta có:
Do đó, delta \(\Delta\) là:
\(\Delta = \left[\right. - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. m^{2} - 3 \left.\right) .\)
Tính toán:
\(\Delta = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m^{2} - 3 \left.\right) ,\)\(\Delta = 4 \left[\right. \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. m^{2} - 3 \left.\right) \left]\right. .\)
Phát triển biểu thức:
\(\Delta = 4 \left[\right. \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) - \left(\right. m^{2} - 3 \left.\right) \left]\right. ,\)\(\Delta = 4 \left[\right. \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 - m^{2} + 3 \left.\right) \left]\right. ,\)\(\Delta = 4 \left(\right. 2 m + 4 \left.\right) ,\)\(\Delta = 8 m + 16.\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\), tức là:
\(8 m + 16 > 0 ,\)\(m > - 2.\)
Bước 2: Sử dụng điều kiện \(x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 6 x_{1} + 2 x_{2} + 8 = 0\)
Từ điều kiện bài toán, ta có:
\(x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 6 x_{1} + 2 x_{2} + 8 = 0.\)
Ta có thể viết lại điều kiện này dưới dạng:
\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 6 x_{1} + 2 x_{2} + 8 = 0.\)
Bước 3: Áp dụng định lý Viète
Với phương trình bậc 2:
\(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + \left(\right. m^{2} - 3 \left.\right) = 0 ,\)
theo định lý Viète, ta có các mối quan hệ sau giữa các nghiệm \(x_{1}\) và \(x_{2}\):
Bước 4: Thay các giá trị vào điều kiện
Thay \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\) vào điều kiện \(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 6 x_{1} + 2 x_{2} + 8 = 0\), ta có:
\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left.\right) + 6 x_{1} + 2 x_{2} + 8 = 0.\)
Để đơn giản hóa, ta cần tính \(x_{1} - x_{2}\). Dùng công thức \(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2}\), ta có:
\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = \left[\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. m^{2} - 3 \left.\right) ,\)\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m^{2} - 3 \left.\right) ,\)\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = 4 \left[\right. \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. m^{2} - 3 \left.\right) \left]\right. ,\)\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = 4 \left[\right. 2 m + 4 \left]\right. ,\)\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = 8 m + 16.\)
Vậy:
\(\mid x_{1} - x_{2} \mid = \sqrt{8 m + 16} = \sqrt{8 \left(\right. m + 2 \left.\right)} .\)
Bước 5: Hoàn thành chứng minh
Đến đây, để tiếp tục giải và tính giá trị của \(m\), ta cần thay vào phương trình và giải phương trình đại số. Tuy nhiên, các bước trên đã chỉ ra rằng \(m\) phải thỏa mãn điều kiện \(m > - 2\) và các điều kiện đại số sẽ cho ra giá trị cụ thể của \(m\).
Tham khảo