bài 2
A B C O H K J
ta có \(\overrightarrow{AO}.\left(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}.2\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AC}=AO.BO.cos\left(120^0\right)+AO.AC.cos\left(30^0\right)\)
\(=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.-\frac{1}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{3}.a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2}{3}\)
b.Gọi J là trung điểm CK
ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MJ}\)
do \(\left|4\overrightarrow{MJ}\right|=a\Leftrightarrow MJ=\frac{a}{4}\)vậy tập hợp M là các điểm nằm trên đường tròn tâm J bán kính a/4.
Bài 3. điều kiện \(x\ge1\)
đặt \(\sqrt{x-1}=a\ge0\) ta có
\(a^2+a+3=3\sqrt{a^3+1}\)
hay \(\left(a^2-a+1\right)+2\left(a+1\right)=3\sqrt{\left(a^2-a+1\right).\left(a+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2-a+1}-\sqrt{a+1}\right)\left(\sqrt{a^2-a+1}-2\sqrt{a+1}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^2-a+1=a+1\\a^2-a+1=4\left(a+1\right)\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\a=2\end{cases}}}\) hoặc \(a=\frac{5+\sqrt{37}}{2}\)
từ đó ta tìm được x thuộc tập \(S=\left\{1;5;\frac{33+5\sqrt{37}}{2}\right\}\)
A B C H O K L N M E F G
Trên EF lấy điểm G sao cho \(HG\perp OA\) (Định nghĩa lại điểm G)
Ta thấy đường tròn (HAC) và (O) đối xứng nhau qua AC, suy ra AOCK là hình thoi
Từ đó \(\widehat{OAM}=180^0-\widehat{AMK}=\widehat{AHK}=90^0-\widehat{ACH}=\widehat{BAC}\)
Suy ra \(\widehat{CAM}=\widehat{BAO}=\widehat{CAH}\) hay AC là phân giác của \(\widehat{HAM}\)
Vì MK là phân giác ngoài của \(\widehat{AMH}\) do K là điểm chính giữa cung AMH nên C là tâm bàng tiếp góc A của \(\Delta AHM\)
Do đó \(\frac{CE}{CA}=\frac{HE}{HA}\). Hoàn toàn tương tự \(\frac{BA}{BF}=\frac{HA}{HF}\)
Mặt khác AMHN là hình bình hành do (AKH),(ALH) đối xứng nhau qua trung điểm AH, đồng thời
\(\widehat{MAN}=\widehat{MHN}=\widehat{AHM}+\widehat{AHN}=180^0-\widehat{AOB}+180^0-\widehat{AOC}=2\widehat{BAC}=2\widehat{OAM}\)
Suy ra AO là phân giác của \(\widehat{MAN}\), mà \(HG\perp AO\) nên HG là phân giác ngoài của \(\widehat{MHN}\)
Do vậy \(\frac{GF}{GE}=\frac{HF}{HE}\). Vậy ta có \(\frac{CE}{CA}.\frac{BA}{BF}.\frac{GF}{GE}=1\), suy ra G,B,C thẳng hàng.
a: \(\forall n\in N^{\star}\) , \(n^2+n+1\) là số nguyên tố(1)
=>Mệnh đề phủ định là \(\exists n\in N^{\star}\) , \(n^2+n+1\) không là số nguyên tố
Khi n=4 thì \(4^2+4+1=16+5=21=3\cdot7\) là hợp số
=>Mệnh đề (1) sai
b: \(\forall x\in N^{\star};1+2+\cdots+n\) không chia hết cho 11(2)
=>Mệnh đề phủ định là \(\exists n\in N^{\star}\) , \(1+2+3+\cdots+n\) ⋮11
Khi n=11 thì \(1+2+3+\cdots+n=1+2+3+\cdots+11\)
\(=11\cdot\frac{12}{2}=11\cdot6\) ⋮11
=>(2) sai
c: Tổng n số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho n(3)
=>Mệnh đề phủ định là tổng của n số nguyên liên tiếp sẽ không chia hết cho n
Lấy vd dãy số có 7 số gồm -4;-3;-2;-1;0;1;2
Tổng của dãy số là (-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2
=(-4)+(-3)=-7⋮7
=>(3) đúng với n=7(5)
Hoặc dãy có 9 số gồm -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1
Tổng của dãy số là (-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1
=(-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)
=(-9)+(-9)+(-9)=-27⋮9
=>(3) đúng với n=9(4)
Dãy có 8 số gồm -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2
Tổng của dãy số là (-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2
=(-2+2)+(-1+1)+0+(-5)+(-4)+(-3)
=-9-3=-12 không chia hết cho 8(7)
Từ (4),(5),(7) suy ra (3) không đúng với n∈\(N^{\star}\)
=>Mệnh đề (3) sai
d: Tổng của n số nguyên lẻ liên tiếp sẽ chia hết cho n(6)
=>Mệnh đề phủ định là tổng của n số nguyên lẻ liên tiếp không chia hết cho n
Lấy ví dụ n số nguyên lẻ liên tiếp là
5 số nguyên lẻ liên tiếp là -1;1;3;5;7
Tổng của dãy số là -1+1+3+5+7=3+5+7=10+5=15⋮5
=>(6) đúng với n=5(8)
6 số nguyên lẻ liên tiếp là -1;1;3;5;7;9
Tổng của dãy số là (-1)+1+3+5+7+9
=(-1)+1+(3+5+7+9)
=12+12=24⋮6
=>(6) đúng với n=6(9)
Từ (8) và (9) suy ra mệnh đề (6) đúng với mọi \(n\in N^{\star}\)
e: \(\exists x\in Q,x^2+x+1=0\) (10)
=>Mệnh đề phủ định là \(\forall x\in Q,x^2+x+1<>0\)
Ta có: \(x^2+x+1\)
\(=x^2+x+\frac14+\frac34\)
\(=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34>0\forall x\)
=>Mệnh đề (10) sai
f: \(\forall x\in R,x^4-x+1>0\) (11)
=>Mệnh đề phủ định là \(\exists x\in R;x^4-x+1<0\)
Nếu x<0 thì ta sẽ có \(x^4>0;-x>0\)
=>\(x^4-x+1>0\) (12)
Nếu x=0 thì ta sẽ có \(0^4-0+1=1>0\) (13)
Nếu 0<x<1 thì ta sẽ có x-1<0
=>-x+1>0
=>\(-x+1+x^4>0\) (14)
Nếu x>1 thì ta có: \(x^4-x+1=x\left(x^3-1\right)+1=x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+1>0\) (15)
Từ (12),(13),(14),(15) suy ra mệnh đề (11) đúng
g: \(\forall n\in N;n^2+1\) không chia hết cho 8(16)
=>\(\exists n\in N;n^2+1\) ⋮8
Nếu n=2k thì \(n^2+1=\left(2k\right)^2+1=4k^2+1\) không chia hết cho 8(17)
Nếu n=2k+1 thì \(n^2+1=\left(2k+1\right)^2+1\)
\(=4k^2+4k+1+1\)
\(=4k^2+4k+2=4k\left(k+1\right)+2\)
Vì k;k+1 là hai số nguyên liên tiếp nên k(k+1)⋮2
=>4k(k+1)⋮8
mà 2 không chia hết cho 8
nên 4k(k+1)+2 không chia hết cho 8(18)
Từ (17),(18) suy ra mệnh đề (16) đúng
h: \(\forall n\in N;n^2+n+1\) không chia hết cho 9(19)
=>Mệnh đề phủ định là \(\exists n\in N;n^2+n+1\) ⋮9
Ta có: \(n^2+n+1=n^2+2n-n-2+3\)
=n(n+2)-(n+2)+3
=(n+2)(n-1)+3
Nếu n^2+n+1 chia hết cho 9 thì (n+2)(n-1)+3⋮9
=>(n+2)(n-1)+3⋮3
=>(n+2)(n-1)⋮3
Giả sử n=5 thì (5+2)(5-1)=10*4=40 không chia hết cho 3
=>(19) sai
i: \(\forall n\in N;n^2+11n+39\) không chia hết cho 49(20)
=>Mệnh đề phủ định là \(\exists n\in N\) ; \(n^2+11n+39\) ⋮49
=>
Đúng(1)
khum bt