Ta có: \(\frac{2}{3\times5}+\frac{2}{5\times7}+\cdots+\frac{2}{2023\times2025}\)

\(=\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025}\)

\(=\frac13-\frac{1}{2025}=\frac{674}{2025}\)

Đặt \(A=\frac{2}{3\times5}+\frac{2}{5\times7}+\cdots+\frac{2}{203\times2025}\)

\(A=\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025}\)

\(A=\frac13-\frac{1}{2025}\)

\(A=\frac{2025}{6075}-\frac{3}{6075}=\frac{2022}{6075}\)

Vậy \(A=\frac{2022}{6075}\)

@ Ke Mạo Danh bài của bạn sai rùi

Đặt \(A=\frac{2}{3 \times5}+\frac{2}{5 \times7}+...+\frac{2}{203 \times2025}\)

\(A=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025}\)

\(A=\frac{1}{3}-\frac{1}{2025}\)

\(A=\frac{675}{2025}-\frac{1}{2025}=\frac{674}{2025}\)

Vậy \(A=\frac{674}{2025}\)

căn 2-3x=4

bạn làm hơi tắt nhưng đúng

mình là Đoàn Bảo Tú(tên cũ)

Các số hạng có dạng:

\(T_{k} = \frac{2 \times \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)}{2 k + 3}\)

Với \(k = 1 , 2 , . . . , n\), sao cho \(2 k + 1 = 2023\).

• Giải: \(2 k + 1 = 2023 \Rightarrow 2 k = 2022 \Rightarrow k = 1011\).

Vậy dãy có 1011 số hạng.

2. Viết lại số hạng:

\(T_{k} = \frac{2 \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)}{2 k + 3} = \frac{4 k + 2}{2 k + 3}\)

3. Cố gắng biến đổi số hạng để dễ tính tổng

Ta thử biến đổi:

\(T_{k} = \frac{4 k + 2}{2 k + 3} = \frac{2 \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)}{2 k + 3}\)

Thử biểu diễn dưới dạng \(A + \frac{B}{2 k + 3}\):

Giả sử:

\(\frac{4 k + 2}{2 k + 3} = A + \frac{B}{2 k + 3}\)

Nhân hai vế với \(2 k + 3\):

\(4 k + 2 = A \left(\right. 2 k + 3 \left.\right) + B = 2 A k + 3 A + B\)

So sánh hệ số:

• Hệ số \(k\): \(4 = 2 A \Rightarrow A = 2\)
• Hằng số: \(2 = 3 A + B = 3 \times 2 + B = 6 + B \Rightarrow B = 2 - 6 = - 4\)

Vậy:

\(T_{k} = 2 - \frac{4}{2 k + 3}\)

4. Tổng dãy từ \(k = 1\) đến \(k = 1011\):

\(S = \sum_{k = 1}^{1011} T_{k} = \sum_{k = 1}^{1011} \left(\right. 2 - \frac{4}{2 k + 3} \left.\right) = \sum_{k = 1}^{1011} 2 - \sum_{k = 1}^{1011} \frac{4}{2 k + 3}\) \(S = 2 \times 1011 - 4 \sum_{k = 1}^{1011} \frac{1}{2 k + 3} = 2022 - 4 \sum_{k = 1}^{1011} \frac{1}{2 k + 3}\)

5. Tính \(\sum_{k = 1}^{1011} \frac{1}{2 k + 3}\)

Số hạng trong tổng là:

\(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \hdots + \frac{1}{2025}\)

Dãy này gồm các phân số với mẫu số là các số lẻ từ 5 đến 2025.

6. Biểu diễn tổng dưới dạng hiệu của hai tổng hàm điều hòa:

Biểu diễn tổng số các phân số mẫu lẻ từ 1 đến 2025:

\(H_{n}^{\left(\right. o d d \left.\right)} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{2 j - 1}\)

Ở đây:

\(\sum_{k = 1}^{1011} \frac{1}{2 k + 3} = \underset{m = 5 , 7 , 9 , \ldots , 2025}{\sum} \frac{1}{m} = \sum_{j = 3}^{1012} \frac{1}{2 j - 1}\)

Vì \(2 \times 3 - 1 = 5\), \(2 \times 1012 - 1 = 2023\).

Nhưng bạn để ý trong dãy trên đến 2025, nên mẫu số cuối là \(2 k + 3 = 2025\), \(k = 1011\).

Có sự chênh lệch một số đơn vị nhỏ, tuy nhiên mình sẽ lấy gần đúng như trên.

7. Tổng số các phân số mẫu lẻ từ 1 đến \(2 n - 1\):

\(H_{n}^{\left(\right. o d d \left.\right)} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{2 j - 1}\)

Tổng này liên quan đến hàm điều hòa \(H_{n} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{j}\) qua công thức:

\(H_{n}^{\left(\right. o d d \left.\right)} = H_{2 n} - \frac{1}{2} H_{n}\)