Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta co:1/n.1/n+1=1/n(n+1)=1/n^2+n;1/n-1/n+1=n+1/n(n+1)-n/n(n+1)=n+1-n/n^2+n=1/n^2+n
=>1/n.1/n+1=1/n-1/n+1
\(a)\)\(\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}\) ; \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}\)
\(b)A=\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}+\frac{1}{110}+\frac{1}{132}\)
\(A=\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{8\cdot9}+\frac{1}{9\cdot10}+\frac{1}{10\cdot11}+\frac{1}{11\cdot12}\)
\(=(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{9})+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})+(\frac{1}{10}-\frac{1}{11})+(\frac{1}{11}-\frac{1}{12})\)
\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{12}=\frac{7}{60}\)
a) Ta có hiệu của chúng là:
\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\left(1\right)\)
Mặt khác, ta lại có tích của chúng là:
\(\frac{1}{n}.\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}.\frac{1}{n+1}\)
Vậy tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng (hiệu của phân số lớn trừ phân số nhỏ)
b) \(\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}+\frac{1}{110}+\frac{1}{132}\)
\(=\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+\frac{1}{8.9}+\frac{1}{9.10}+\frac{1}{10.11}+\frac{1}{11.12}\)
\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+....+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}\)
\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{12}=\frac{7}{60}\)
1.a.ta có:\(\frac{2017+2018}{2018+2019}=\frac{2017}{2018+2019}+\frac{2018}{2018+2019}\)
mà \(\frac{2017}{2018}>\frac{2017}{2018+2019};\frac{2018}{2019}>\frac{2018}{2018+2019}\)
\(\Rightarrow M>N\)
b.ta thấy:
\(\frac{n+1}{n+2}>\frac{n+1}{n+3}>\frac{n}{n+3}\Rightarrow\frac{n+1}{n+2}>\frac{n}{n+3}\)
=> A>B
a)\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n-1\right)}=\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}.\frac{1}{n+1}\)
b) \(C=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}+\frac{1}{3}.\frac{1}{4}+\frac{1}{4}.\frac{1}{5}+\frac{1}{5}.\frac{1}{6}+\frac{1}{6}.\frac{1}{7}+\frac{1}{7}.\frac{1}{8}\)
\(=\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\)
\(=\frac{1}{2}+0+0+0+0+0-\frac{1}{8}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{4}{8}-\frac{1}{8}=\frac{4-1}{8}=\frac{3}{8}\)
\(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}=\frac{a+1-a}{a\left(a+1\right)}=\frac{1}{a\left(a+1\right)}\)
=>Tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng
Bạn cho hai phân số:
\(\frac{1}{a} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{1}{a} + \frac{1}{a + 1} \left(\right. a \in \mathbb{Z} , a > 0 \left.\right)\)
Cần chứng minh: tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng.
Bước 1: Viết lại hai phân số
\(Q = \frac{1}{a} + \frac{1}{a + 1} = \frac{\left(\right. a + 1 \left.\right) + a}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)} = \frac{2 a + 1}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)}\)
Bước 2: Tính tích \(P \times Q\)
\(P \times Q = \frac{1}{a} \times \frac{2 a + 1}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)} = \frac{2 a + 1}{a^{2} \left(\right. a + 1 \left.\right)}\)
Bước 3: Tính hiệu \(Q - P\)
\(Q - P = \frac{2 a + 1}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)} - \frac{1}{a} = \frac{2 a + 1}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)} - \frac{a + 1}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)} = \frac{2 a + 1 - \left(\right. a + 1 \left.\right)}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)} = \frac{a}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)} = \frac{1}{a + 1}\)
Bước 4: So sánh \(P \times Q\) và \(Q - P\)
Ta có:
\(P \times Q = \frac{2 a + 1}{a^{2} \left(\right. a + 1 \left.\right)}\)\(Q - P = \frac{1}{a + 1}\)
Hai biểu thức này có vẻ chưa bằng nhau, vậy có phải mình hiểu sai đề?
Kiểm tra lại đề bài:
Hai phân số là:
\(\frac{1}{a} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{1}{a + 1}\)
hay
\(\frac{1}{a} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{1}{a} + \frac{1}{a + 1}\)
Nếu là:
\(P = \frac{1}{a} , Q = \frac{1}{a + 1}\)
thì:
\(P \times Q = \frac{1}{a} \times \frac{1}{a + 1} = \frac{1}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)}\)
\(Q - P = \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{a} = \frac{a - \left(\right. a + 1 \left.\right)}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)} = \frac{- 1}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)}\)
Hai biểu thức chỉ khác nhau về dấu.
Vậy giả sử đề bài là:
Cho hai phân số \(\frac{1}{a}\) và \(\frac{1}{a + 1}\) (với \(a \in \mathbb{Z} , a > 0\)), chứng minh rằng tích hai phân số này bằng âm hiệu của chúng, tức:
\(\frac{1}{a} \times \frac{1}{a + 1} = - \left(\right. \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{a} \left.\right)\)
Chứng minh:
Tính hiệu:
\(\frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1} = \frac{\left(\right. a + 1 \left.\right) - a}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)} = \frac{1}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)}\)
Tích:
\(\frac{1}{a} \times \frac{1}{a + 1} = \frac{1}{a \left(\right. a + 1 \left.\right)}\)
Vậy:
\(\frac{1}{a} \times \frac{1}{a + 1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}\)
Kết luận:
Nếu đề bài là:
Cho hai phân số \(\frac{1}{a}\) và \(\frac{1}{a + 1}\) với \(a > 0\), thì:
\(\boxed{\frac{1}{a} \times \frac{1}{a + 1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}}\)
Tham khảo