Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, (O): góc BAC=90 độ (góc nt chắn nửa đường tròn).
(I): góc AEH=90(góc nt chắn nửa đường tròn). góc ADH=90(góc nt chắn nửa đường tròn) => tg AEHD là hcn(có 3 góc vuông)
b) (I): góc ADE=góc AHE( nt cùng chắn cung AE)
ta lại có:góc AHE=góc ABH( cùng phụ với góc BAH.) => ADE=ABH
=> tg BEDC nội tiếp (góc trong tại 1 đỉnh = góc ngoài tại đỉnh đối diện)
c, tg AEHD là hcn; AH cắt AD tại I => IA=IH=IE=ID
tam giác ADH: DI là trung tuyến
tam giác: AMH: MI là trung tuyến => D,M,I thẳng hàng. mà E,M,I thẳng hàng=> D,M,E thẳng hàng.
Nhớ L I K E nha
a/ Ta có
\(BE\perp AC\Rightarrow\widehat{AEB}=90^o\)
\(AH\perp BC\Rightarrow\widehat{AHB}=90^o\)
=> E và H cùng nhìn AB dưới 1 góc bằng 90 độ => E;H,A;B thuộc đường tròn bán kính = \(\frac{AB}{2}\) , tâm là trung điểm AB
b/ Ta có
\(\widehat{DBE}=\widehat{DFE}\) (Góc nội tiếp đường tròn tâm O cùng chắn cung DE)
\(\widehat{DBE}=\widehat{AHE}\) (Góc nội tiếp đường tròn ngoại tiếp HBAE cùng chắn cung AE)
\(\Rightarrow\widehat{DFE}=\widehat{AHE}\) => DF//AH (Hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 tạo thành hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau thì chúng // với nhau)
Mà \(AH\perp BC\Rightarrow DF\perp BC\)
c/
Từ E dựng đường thẳng vuông góc với BC cắt (O) tại I => gia của BC với EI là trung điểm EI (đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung) => I là điểm đối xứng E qua BC.
Nối I với H, D với H
Xét \(\Delta HDF\) và \(\Delta HEI\) ta có
\(BC\perp DF;BC\perp EI\) => BC đi qua trung điểm của DF và EI => tg HDF và tg HEI là tam giác cân tại H (có BC là đường cao đồng thời là đường trung trực)
\(\Rightarrow\widehat{HEI}=\widehat{HIE};\widehat{HDF}=\widehat{HFD}\) (góc ở đáy của tg cân)
Ta có DF//EI (cùng vuông góc với BC) => sđ cung DE = sđ cung FI (Trong đường tròn hai cung bị chắn bởi 2 dây // với nhau thì = nhau)
\(\Rightarrow\widehat{HFD}=\widehat{HEI}\) (góc nội tiếp cùng chắn 2 cung có số đo bằng nhau)
\(\Rightarrow\widehat{HEI}=\widehat{HIE}=\widehat{HDF}=\widehat{HFD}\) => tg HDF đồng dạng với tg HEI
\(\Rightarrow\frac{HD}{HE}=\frac{HF}{HI}\Rightarrow HD.HI=HE.HF\)
a:
góc BDC=góc BEC=1/2*sđ cung BC=90 độ
=>CD vuông góc AB và BE vuông góc AC
Xét ΔABC có
CD,BE là đường cao
CD cắt BE tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc BC
b: góc AEH+góc ADH=180 độ
=>AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>I là trung điểm của AH
c: góc BDC=góc BEC=90 độ
=>BDEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>O là trung điểm của BC
d: ID=IE
OD=OE
=>OI là trung trực của DE
=>OI vuông góc DE
A B C D E K M I H F
a) Ta thấy ngay do BD, CE là đường cao nên \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\)
Xét tứ giác AEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\) nên AEDC là tứ giác nội tiếp hay A, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.
Đường tròn cần tìm là đường tròn đường kính BC, tức là tâm đường tròn là trung điểm J của BC, bán kính là JB.
b) Xét tam giác BEC và tam giác BHM có :
\(\widehat{BEC}=\widehat{BHM}=90^o\)
Góc B chung
\(\Rightarrow\Delta BEC\sim\Delta BHM\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{BE}{BH}=\frac{BC}{BM}\Rightarrow BC.BH=BE.BM\)
Ta có \(BK^2=BD^2=BH.BC=BE.EM\) mà \(KE\perp BM\Rightarrow\widehat{BKM}=90^o\)
Vậy MK là tiếp tuyến của đường tròn tâm B.
c)
Gọi F là giao điểm của CE với đường tròn tâm B.
Do \(BE\perp KF\)nên MB là trung trực của FK.
\(\Rightarrow\widehat{MFB}=\widehat{MKB}=90^o\Rightarrow\)tứ giác MFBH nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{MHF}=\widehat{MBF}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MF)
Ta cũng có MKHB nội tiếp nên \(\widehat{MHK}=\widehat{MBK}\)
Mà \(\widehat{MBF}=\widehat{MBK}\) nên HI là phân giác góc KHF.
Áp dụng tính chất tia phân giác ta có : \(\frac{IK}{IF}=\frac{HK}{HF}\)
Ta có \(HC\perp HI\) nên HC là tia phân giác ngoài của góc KHF.
\(\Rightarrow\frac{CK}{CF}=\frac{HK}{HF}\)
Vậy nên \(\frac{CK}{CF}=\frac{IK}{IF}\)
\(\Rightarrow\frac{CK}{CF+KF}=\frac{IK}{IF+IK}\Rightarrow\frac{CK}{\left(CE+EF\right)+\left(CE-KE\right)}=\frac{IK}{FK}\)
\(\Rightarrow\frac{CK}{2CE}=\frac{IK}{2EK}\Rightarrow CK.EK=CE.IK\)
a: Sửa đề: AH⊥BC tại F
Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
=>CD⊥AB tại D
Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
=>BE⊥AC tại E
Xét ΔABC có
BE,CD là các đường cao
BE cắt CD tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC tại F
b: Xét tứ giác ADFC có \(\hat{ADC}=\hat{AFC}=90^0\)
nên ADFC là tứ giác nội tiếp
=>A,D,F,C cùng thuộc một đường tròn
c: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
nên ADHE là tứ giác nội tiếp
=>A,D,H,E cùng thuộc một đường tròn
Để chứng minh các kết luận trong bài toán này ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu.
### a) Chứng minh: △ABD△ABD và △ABE△ABE là các tam giác vuông.
**Chứng minh:**
1. **Tam giác △ABD△ABD:**
- Ta có đường tròn đường kính BCBC với OO là trung điểm của BCBC. Theo tính chất của đường tròn, bất cứ điểm nào nằm trên đường tròn này và được nối với hai đầu của đường kính sẽ tạo thành một tam giác vuông. Tức là, góc ADBADB sẽ vuông tại DD vì DD thuộc đường tròn và ABAB là secant đi qua AA.
- Do đó, △ABD△ABD vuông tại DD.
2. **Tam giác △ABE△ABE:**
- Tương tự, góc AEBAEB cũng là góc vuông tại EE như trên vì EE cũng thuộc đường tròn đường kính BCBC.
- Do đó, △ABE△ABE vuông tại EE.
### b) Chứng minh: AHAH gặp BCBC tại FF.
**Chứng minh:**
- Gọi HH là giao điểm của BEBE và CDCD. Do đó, HH nằm trên cả hai đoạn thẳng BEBE và CDCD.
- Vì △ABD△ABD và △ABE△ABE đều vuông, nó cho thấy rằng các cạnh ADAD và AEAE vuông góc với ABAB. Do đó, FF là giao điểm của đường thẳng AHAH với đường thẳng BCBC.
- Khi HH nằm trên BEBE và CDCD, AHAH là đường thẳng tạo bởi AA và HH và cắt BCBC tại FF.
### c) Chứng minh: 4 điểm A,D,F,CA,D,F,C cùng thuộc một đường tròn.
**Chứng minh:**
- Ta sẽ chứng minh rằng góc ADFADF và góc ACFACF bằng nhau.
- Ta có hai đoạn thẳng ADAD và ACAC đều vuông góc với BCBC tại DD và FF.
- Điều này nghĩa là ∠ADF=∠ACF∠ADF=∠ACF (góc nội tiếp cùng chắn cung ACAC).
- Theo tính chất của góc nội tiếp, 4 điểm A,D,F,CA,D,F,C thuộc cùng một đường tròn.
### d) Chứng minh: 4 điểm A,D,H,EA,D,H,E cùng thuộc một đường tròn.
**Chứng minh:**
- Tương tự như trên, ta sẽ xét góc ADHADH và AEHAEH.
- Cả HH nằm trên BEBE và CDCD, nên ∠ADH=∠AEH∠ADH=∠AEH (hai góc này chắn cung AEAE).
- Do đó, theo định lý về góc nội tiếp, 4 điểm A,D,H,EA,D,H,E cũng thuộc cùng một đường tròn.
### Kết luận
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu trong đề bài.