Câu hỏi của Linh Nguyễn

Question

Giair phương trình: $x^2-\sqrt{x+2020}=2020$

Nguyễn Phú Thành · Accepted Answer

Để giải phương trình $x^{2} - \sqrt{x + 2020} = 2020$, ta thực hiện các bước sau:

Đặt điều kiện: Vì có căn bậc hai, ta cần $x + 2020 \geq 0$, suy ra $x \geq - 2020$.
Biến đổi phương trình: $x^{2} - 2020 = \sqrt{x + 2020}$ Đặt $y = \sqrt{x + 2020}$, suy ra $y^{2} = x + 2020$. Khi đó, ta có hệ phương trình: $\left{\right. x^{2} - 2020 = y \ y^{2} - 2020 = x$
Giải hệ phương trình: Trừ hai phương trình vế theo vế, ta được: $x^{2} - y^{2} = y - x$ $\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right) = - \left(\right. x - y \left.\right)$ $\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x + y + 1 \left.\right) = 0$ Từ đây, ta có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $x = y$ Khi đó, $x^{2} - 2020 = x$, suy ra $x^{2} - x - 2020 = 0$. Giải phương trình bậc hai này, ta có: $\Delta = \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 2020 \left.\right) = 1 + 8080 = 8081$ $x_{1 , 2} = \frac{1 \pm \sqrt{8081}}{2}$ Vì $x \geq - 2020$, cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại với phương trình ban đầu.
- Trường hợp 2: $x + y + 1 = 0$, suy ra $y = - x - 1$ Thay vào $y^{2} = x + 2020$, ta được: $\left(\right. - x - 1 \left.\right)^{2} = x + 2020$ $x^{2} + 2 x + 1 = x + 2020$ $x^{2} + x - 2019 = 0$ Giải phương trình bậc hai này, ta có: $\Delta = 1^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 2019 \left.\right) = 1 + 8076 = 8077$ $x_{3 , 4} = \frac{- 1 \pm \sqrt{8077}}{2}$ Cả hai nghiệm này đều lớn hơn -2020. Ta cần kiểm tra lại với phương trình ban đầu.
Kiểm tra lại nghiệm: Sau khi tìm được các nghiệm, bạn cần thay từng nghiệm vào phương trình gốc $x^{2} - \sqrt{x + 2020} = 2020$ để kiểm tra xem chúng có thỏa mãn hay không. Việc này rất quan trọng để loại bỏ các nghiệm ngoại lai.

Kết luận: Phương trình có bốn nghiệm tiềm năng là: $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{8081}}{2} , x_{2} = \frac{1 - \sqrt{8081}}{2} , x_{3} = \frac{- 1 + \sqrt{8077}}{2} , x_{4} = \frac{- 1 - \sqrt{8077}}{2}$ Bạn cần kiểm tra lại từng nghiệm với phương trình gốc để xác định nghiệm chính xác.

Câu trả lời: Để giải phương trình $x^{2} - \sqrt{x + 2020} = 2020$, ta thực hiện các bước sau:

Đặt điều kiện: Vì có căn bậc hai, ta cần $x + 2020 \geq 0$, suy ra $x \geq - 2020$.
Biến đổi phương trình: $x^{2} - 2020 = \sqrt{x + 2020}$ Đặt $y = \sqrt{x + 2020}$, suy ra $y^{2} = x + 2020$. Khi đó, ta có hệ phương trình: $\left{\right. x^{2} - 2020 = y \ y^{2} - 2020 = x$
Giải hệ phương trình: Trừ hai phương trình vế theo vế, ta được: $x^{2} - y^{2} = y - x$ $\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right) = - \left(\right. x - y \left.\right)$ $\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x + y + 1 \left.\right) = 0$ Từ đây, ta có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $x = y$ Khi đó, $x^{2} - 2020 = x$, suy ra $x^{2} - x - 2020 = 0$. Giải phương trình bậc hai này, ta có: $\Delta = \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 2020 \left.\right) = 1 + 8080 = 8081$ $x_{1 , 2} = \frac{1 \pm \sqrt{8081}}{2}$ Vì $x \geq - 2020$, cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại với phương trình ban đầu.
- Trường hợp 2: $x + y + 1 = 0$, suy ra $y = - x - 1$ Thay vào $y^{2} = x + 2020$, ta được: $\left(\right. - x - 1 \left.\right)^{2} = x + 2020$ $x^{2} + 2 x + 1 = x + 2020$ $x^{2} + x - 2019 = 0$ Giải phương trình bậc hai này, ta có: $\Delta = 1^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 2019 \left.\right) = 1 + 8076 = 8077$ $x_{3 , 4} = \frac{- 1 \pm \sqrt{8077}}{2}$ Cả hai nghiệm này đều lớn hơn -2020. Ta cần kiểm tra lại với phương trình ban đầu.
Kiểm tra lại nghiệm: Sau khi tìm được các nghiệm, bạn cần thay từng nghiệm vào phương trình gốc $x^{2} - \sqrt{x + 2020} = 2020$ để kiểm tra xem chúng có thỏa mãn hay không. Việc này rất quan trọng để loại bỏ các nghiệm ngoại lai.

Kết luận: Phương trình có bốn nghiệm tiềm năng là: $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{8081}}{2} , x_{2} = \frac{1 - \sqrt{8081}}{2} , x_{3} = \frac{- 1 + \sqrt{8077}}{2} , x_{4} = \frac{- 1 - \sqrt{8077}}{2}$ Bạn cần kiểm tra lại từng nghiệm với phương trình gốc để xác định nghiệm chính xác.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Phần quà đặc biệt từ OLM

Hè này, gói VIP OLM có gì cho bạn?

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP