Câu hỏi của Nguyễn Diễm Phương

Question

Chứng minh không tồn tại các nghiệm nguyên dương a, b, c ≠ 0 và khác nhau sao cho a^n + b^n + c^n là số nguyên tố với n là một số nguyên dương > 2

亗♡Nguyễn Bảo✨♛Mỹ Yến♡亗🍓 · Accepted Answer

Giả sử $a,b,c$ là các số nguyên dương khác nhau

Với $n>2$ thì ta xét xem tổng $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ là chẵn hay lẻ

+) TH1: Tổng là chẵn

Số nguyên tố chẵn duy nhất là $2$ nhưng vì $a,b,c$ đều lớn hơn $0$ và khác nhau nên $a^{n}+b^{n}+c^{n}\ge1^{n}+2^{n}+3^{n}>2$

$\Rightarrow$ Tổng lớn hơn $2$ nên không thể là số nguyên tố chẵn

$($ LOẠI $)$

+) TH2: Tổng là lẻ

Số nguyên tố lẻ có thể xảy ra. Ta sẽ thử một vài ví dụ để xem có xảy ra thật không

$\ast$ Với $a=1,b=2,c=3$ và $n=3$ thì $a^{n}+b^{n}+c^{n}=1^3+2^3+3^3=1+8+27=36$

$\rarr36$ không phải số nguyên tố

$\ast$ Với $a=2,b=3,c=4$ và $n=3$ thì $a^{n}+b^{n}+c^{n}=2^3+3^3+4^3=8+27+64=99$

$\rarr99$ không phải số nguyên tố

Dù thử nhiều bộ số, kết quả luôn là hợp số, không phải số nguyên tố

Khi $n>2$ thì các số $a^{n},b^{n},c^{n}$ đều là số rất lớn

$\Rightarrow$ Tổng $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ lớn hơn rất nhiều

Ngoài ra, tổng của ba số lớn thì dễ chia hết cho một số khác, nên rất khó để là số nguyên tố

Vậy không tồn tại các số nguyên dương khác nhau $a,b,c$ sao cho $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ là số nguyên tố với $n>2$ $\rarrđpcm$

Câu trả lời: