a có biểu thức \(P\) với các biến dương và điều kiện tổng cố định.

Bước 1: Biểu thức \(x \left(\right. y + z \left.\right)\) có thể viết lại

Vì \(x + y + z = 18\), nên:

\(y + z = 18 - x ,\)

tương tự:

\(z + x = 18 - y , x + y = 18 - z .\)

Vậy:

\(P = \frac{1}{x \left(\right. 18 - x \left.\right)} + \frac{1}{y \left(\right. 18 - y \left.\right)} + \frac{1}{z \left(\right. 18 - z \left.\right)} .\)

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz

Ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số dương:

\(\left(\right. \sum \frac{1}{x \left(\right. y + z \left.\right)} \left.\right) \left(\right. \sum x \left(\right. y + z \left.\right) \left.\right) \geq \left(\right. 1 + 1 + 1 \left.\right)^{2} = 9.\)

Nhưng ta cần tính \(\sum x \left(\right. y + z \left.\right)\):

\(\sum x \left(\right. y + z \left.\right) = x \left(\right. y + z \left.\right) + y \left(\right. z + x \left.\right) + z \left(\right. x + y \left.\right) .\)

Mở rộng:

\(= x \left(\right. y + z \left.\right) + y \left(\right. z + x \left.\right) + z \left(\right. x + y \left.\right) = x y + x z + y z + y x + z x + z y = 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)

Do đó:

\(\sum x \left(\right. y + z \left.\right) = 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)

Bước 3: Vậy:

\(P \geq \frac{9}{\sum x \left(\right. y + z \left.\right)} = \frac{9}{2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)} .\)

Bước 4: Tìm mối liên hệ giữa \(x y + y z + z x\) và \(x + y + z\)

Vì \(x , y , z > 0\) và \(x + y + z = 18\), ta áp dụng bất đẳng thức cơ bản:

\(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} \geq 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)

Suy ra:

\(x y + y z + z x \leq \frac{\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2}}{3} = \frac{18^{2}}{3} = \frac{324}{3} = 108.\)

Bước 5: Áp dụng vào biểu thức \(P\):

\(P \geq \frac{9}{2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)} \geq \frac{9}{2 \times 108} = \frac{9}{216} = \frac{1}{24} .\)

Nhưng đề bài yêu cầu chứng minh \(P \geq \frac{1}{4}\), trong khi ta có được \(P \geq \frac{1}{24}\) theo cách này — chưa đủ mạnh.

Bước 6: Thử cách khác bằng việc đưa về một biến

Do đối xứng, giả sử \(x = y = z = 6\). Thử tính \(P\):

\(P = 3 \times \frac{1}{6 \times \left(\right. 6 + 6 \left.\right)} = 3 \times \frac{1}{6 \times 12} = 3 \times \frac{1}{72} = \frac{3}{72} = \frac{1}{24} ,\)

giá trị này nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\).

Nhận xét:

Điều này cho thấy đề bài có thể bị sai hoặc thiếu điều kiện vì với \(x = y = z = 6\), \(P = \frac{1}{24}\) chứ không phải \(\geq \frac{1}{4}\).