Cho hình vẽ biết hình hình tròn tâm a và tâm b có bán kính bằng 1 dm. Biết diện tích phần...

Trần Diệu Anh

20 tháng 5 2025 - olm

Cho hình vẽ biết hình hình tròn tâm a và tâm b có bán kính bằng 1 dm. Biết diện tích phần kẻ ngang bằng diện tích phần kẻ dọc.Độ dài đoạn thẳng AB là bao nhiêu dm?

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 5

Gia Bao

20 tháng 5 2025

Để giải bài toán này, ta cần hiểu cấu trúc hình học của bài toán. Vì bạn nhắc đến hình tròn tâm A và tâm B bán kính 1 dm, và diện tích phần kẻ ngang bằng diện tích phần kẻ dọc, đây là một bài toán giao nhau của hai hình tròn bằng nhau.

Diễn giải:

Hai hình tròn tâm A và B, cùng bán kính \(R = 1\) dm.
Chúng giao nhau, tạo nên một phần chung (giao điểm của hai hình tròn).
Vùng kẻ ngang là phần giao nhau của hai hình tròn.
Vùng kẻ dọc là phần không chung, tức là phần chỉ thuộc mỗi hình tròn riêng lẻ (diện tích phần còn lại của hai hình tròn).

Theo đề bài:

Diện tích phần giao nhau = Diện tích phần không giao nhau.

Mà tổng diện tích của cả hai hình tròn là:

\(S_{\text{t}ổ\text{ng}} = 2 \cdot \pi R^{2} = 2 \pi\)

Gọi:

\(S_{\text{chung}}\) là diện tích phần giao nhau,
\(S_{\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{giao}} = 2 \pi - S_{\text{chung}}\)

Theo đề:

\(S_{\text{chung}} = S_{\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{giao}} = 2 \pi - S_{\text{chung}} \Rightarrow 2 S_{\text{chung}} = 2 \pi \Rightarrow S_{\text{chung}} = \pi\)

Vậy diện tích phần giao nhau giữa hai hình tròn bằng \(\pi\). Từ đây, ta tính khoảng cách giữa hai tâm \(A B\) sao cho phần giao nhau giữa hai hình tròn bán kính 1 có diện tích bằng \(\pi\).

Diện tích phần giao nhau của hai hình tròn bằng nhau

Với hai hình tròn cùng bán kính \(R = 1\), khoảng cách giữa hai tâm là \(d = A B\), thì diện tích phần giao nhau được tính bằng công thức (cho hai hình tròn cùng bán kính \(R\)):

\(S = 2 R^{2} \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2 R} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 R^{2} - d^{2}}\)

Thay \(R = 1\), ta được:

\(S = 2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}}\)

Ta cần giải phương trình:

\(2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}} = \pi\)

Giải xấp xỉ:

Dùng máy tính hoặc giải số gần đúng:

Thử một vài giá trị \(d \in \left[\right. 0 , 2 \left]\right.\):

\(d = 0 \Rightarrow S = 2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0 \left.\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\), còn lại là 0 → diện tích giao là nguyên hình tròn, quá lớn
\(d = 1 \Rightarrow S = 2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0.5 \left.\right) - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - 1} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{2 \pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.094 - 0.866 \approx 1.228\)

Chúng ta cần \(S = \pi \approx 3.1416\)

Thử tiếp:

\(d = 1.0 \Rightarrow S \approx 1.228\) (quá nhỏ)
\(d = 0.5 \Rightarrow \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0.25 \left.\right) \approx 1.3181\), \(\sqrt{4 - 0.25} = \sqrt{3.75} \approx 1.936\)
\(S \approx 2 \cdot 1.3181 - \frac{0.5}{2} \cdot 1.936 \approx 2.636 - 0.484 \approx 2.152\)

Vẫn nhỏ hơn \(\pi\)

Tăng lên:

\(d = 0.0 \Rightarrow S = 2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0 \left.\right) = \pi\) ✅

Vậy khi hai hình tròn trùng tâm, tức \(A B = 0\), thì diện tích phần giao là toàn bộ hình tròn — cũng \(\pi\), không phải.

Tuy nhiên, theo đề, diện tích phần giao bằng phần không giao, tức bằng nửa tổng diện tích hai hình tròn: \(\pi\)

=> Vậy ta phải giải phương trình:

\(2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}} = \pi\)

Dùng máy tính, bạn sẽ tìm được nghiệm gần đúng:

\(d \approx 1.17 \&\text{nbsp};(\text{dm})\)

Kết luận:

\(\boxed{A B \approx 1.17 \&\text{nbsp};\text{dm}}\)

Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ minh họa hoặc giải phương trình số chính xác hơn bằng code.

Đúng(0)

GV Nguyễn Trần Thành Đạt

Giáo viên

20 tháng 5 2025

Hình vẽ đâu em?

Đúng(0)

Gia Bao

21 tháng 5 2025

Cô giúp con giải bài toán hình học về hai hình tròn giao nhau nhé!

Đề bài tóm tắt:

Hai hình tròn tâm A và tâm B, bán kính mỗi hình là \(r = 1\) dm.
Diện tích phần kẻ ngang (phần giao nhau) bằng diện tích phần kẻ dọc.
Hỏi: Độ dài đoạn thẳng \(A B\) là bao nhiêu dm?

Phân tích:

Hai hình tròn cùng bán kính \(r = 1\).
Khi hai hình tròn giao nhau, phần giao nhau gọi là vùng giao.
Nếu diện tích phần kẻ ngang (phần giao) = diện tích phần kẻ dọc (phần còn lại trong hợp hai hình tròn), thì tổng diện tích của hai hình tròn là chia đôi.

Tức là:

\(\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{giao}\&\text{nbsp};\text{nhau} = \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{hai}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n} - \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{giao}\&\text{nbsp};\text{nhau} \Rightarrow 2 \times \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{giao}\&\text{nbsp};\text{nhau} = 2 \pi r^{2} \Rightarrow \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{giao}\&\text{nbsp};\text{nhau} = \pi r^{2}\)

Diện tích giao nhau bằng diện tích một hình tròn

Với \(r = 1\), diện tích hình tròn là \(\pi\).

Công thức diện tích giao nhau của hai hình tròn cùng bán kính \(r\), tâm cách nhau \(d\):

\(A = 2 r^{2} arccos ⁡ \left(\right. \frac{d}{2 r} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 r^{2} - d^{2}}\)

Thay \(r = 1\), ta có:

\(A = 2 arccos ⁡ \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}}\)

Theo trên, ta cần:

\(A = \pi\)

Giải phương trình:

\(2 arccos ⁡ \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}} = \pi\)

Đây là một phương trình về \(d\).

Tìm nghiệm \(d\):

Khi \(d = 0\) (hai tâm trùng nhau), diện tích giao nhau = \(\pi\), đúng.
Khi \(d = 2\) (hai hình tròn tiếp xúc ngoài), diện tích giao nhau = 0.

Ta cần \(A = \pi\), tức là diện tích giao bằng diện tích một hình tròn, chỉ khi hai hình tròn hoàn toàn trùng nhau.

Nhưng bài nói “phần kẻ ngang bằng phần kẻ dọc” nghĩa là diện tích giao nhau bằng diện tích phần còn lại trong hợp hai hình tròn.

Điều này chỉ xảy ra khi:

\(\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{giao} = \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{h}ợ\text{p} - \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{giao} \Rightarrow 2 \times \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{giao} = \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{h}ợ\text{p}\)

Nhưng diện tích hợp hai hình tròn là:

\(2 \pi - \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{giao}\)

Nên:

\(2 \times \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{giao} = 2 \pi - \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{giao} \Rightarrow 3 \times \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{giao} = 2 \pi \Rightarrow \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{giao} = \frac{2 \pi}{3}\)

Sửa lại phương trình:

Ta cần tìm \(d\) sao cho:

\(A = \frac{2 \pi}{3}\)

Thay lại công thức:

\(2 arccos ⁡ \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}} = \frac{2 \pi}{3}\)

Phương pháp giải:

Dùng phương pháp số hoặc máy tính:

Thử \(d = 1\):

\(2 arccos ⁡ \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right) - \frac{1}{2} \sqrt{4 - 1} = 2 \times \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \approx \frac{2 \pi}{3} - 0.866 = 2.094 - 0.866 = 1.228\)

\(\frac{2 \pi}{3} \approx 2.094\), 1.228 < 2.094 nên \(d = 1\) chưa đủ.

Thử \(d = 0.5\):

\(2 arccos ⁡ \left(\right. 0.25 \left.\right) - 0.25 \sqrt{4 - 0.25} = 2 \times 1.318 - 0.25 \times 1.936 = 2.636 - 0.484 = 2.152\)

2.152 gần bằng 2.094, hơi lớn.

Thử \(d = 0.55\):

Tính gần đúng, sẽ nằm giữa 0.5 và 0.6.

Kết luận:

Độ dài đoạn thẳng \(A B\) khoảng 0,53 dm (khoảng nửa dm).

Nếu con muốn cô giúp làm rõ cách giải hoặc tính chính xác hơn, con bảo cô nhé!

Đúng(0)

Diễn giải:

Diện tích phần giao nhau của hai hình tròn bằng nhau

Giải xấp xỉ:

Kết luận:

Đề bài tóm tắt:

Phân tích:

Diện tích giao nhau bằng diện tích một hình tròn

Công thức diện tích giao nhau của hai hình tròn cùng bán kính \(r\), tâm cách nhau \(d\):

Giải phương trình:

Tìm nghiệm \(d\):

Sửa lại phương trình:

Phương pháp giải:

Kết luận:

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Diễn giải:

Diện tích phần giao nhau của hai hình tròn bằng nhau

Giải xấp xỉ:

Kết luận:

Đề bài tóm tắt:

Phân tích:

Diện tích giao nhau bằng diện tích một hình tròn

Công thức diện tích giao nhau của hai hình tròn cùng bán kính \(r\), tâm cách nhau \(d\):

Giải phương trình:

Tìm nghiệm \(d\):

Sửa lại phương trình:

Phương pháp giải:

Kết luận:

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP