Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt n-2= a^3; n-5=b^3 (a,b thuộc Z)
Ta có
\(a^3-b^3=\left(n-2\right)-\left(n-5\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=3\)
Ta thấy \(a^2+ab+b^2\ge0\)nên
TA CÓ BẢNG :
| a-b | a2+ab+b2 | a | b | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | |||
| 3 | 1 | |||
*Trường hợp 4n+1 ko chia ht n+7 Thì Để biểu thức hữu tỉ nên 4n+1 và n+7 là các số ch/phương
-Có 4n+1 là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1\(\Rightarrow n\) chẵn
Suy ra n+7 là số chính phương lẻ
Có 4n+1 và n+7 là số ch/phương lẻ nên tận cùng 1,5,9 suy ra chia 5 dư 1,0,4(1)
Mà 4n+1+n+7=5n+8 chia 5 dư 3 (2)
Từ (1)và (2) suy ra 4n+1 và n+7 ko là các số chính phương
* Trường hợp 4n+1 chia hết n+7
Vì biểu thức hữu tỉ nên bình phương của nó cũng hữu tỉ
\(\frac{4n+1}{n+7}=\frac{3n+21+n+7-27}{n+7}=3+1-\frac{27}{n+7}\)
n ng/ dương nên n+7=(9,27) suy ra n=2,20
Đặt A=1+n2017+n2018
*Nếu: n=1 => A= 1 + 12017 + 12018 = 3 (t/m)
Do đó: A là số nguyên tố
*Nếu: n>1
1+n2017+n2018
=(n2018-n2)+(n2017-n)+(n2+n+1)
=n2.(n2016-1)+n.(n2016-1)+(n2+n).(n2016-1)+(n2+n+1)
Vì: n2016 chia hết cho n3
=> n2016-1 chia hết cho n3-1
=> n2016-1 chia hết cho (n2+n+1)
Mà: 1<n2+n+1<A=> A là số nguyên tố (k/tm đk đề bài số nguyên dương)
Vậy n=1
Đây là cách giải đơn giản hơn để tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho biểu thức \(\frac{8 n + 19}{n + 7}\) là lập phương của một số hữu tỉ.
Bước 1: Đặt biểu thức là lập phương
Giả sử \(\frac{8 n + 19}{n + 7} = k^{3}\), với \(k\) là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là:
\(\frac{8 n + 19}{n + 7} = k^{3}\)
Bước 2: Giải phương trình
Ta sẽ nhân chéo để bỏ dấu phân số:
\(8 n + 19 = k^{3} \left(\right. n + 7 \left.\right)\) \(8 n + 19 = k^{3} n + 7 k^{3}\)
Đưa tất cả các hạng tử chứa \(n\) về một phía:
\(8 n - k^{3} n = 7 k^{3} - 19\) \(n \left(\right. 8 - k^{3} \left.\right) = 7 k^{3} - 19\)
Vậy ta có phương trình:
\(n = \frac{7 k^{3} - 19}{8 - k^{3}}\)
Bước 3: Tìm giá trị \(k\) sao cho \(n\) là số nguyên dương
Để \(n\) là một số nguyên dương, \(\frac{7 k^{3} - 19}{8 - k^{3}}\) phải là một số nguyên. Vì vậy, \(8 - k^{3}\) phải là một ước của \(7 k^{3} - 19\).
Bước 4: Thử các giá trị của \(k\)
Bây giờ ta sẽ thử các giá trị hữu tỉ của \(k\) để tìm các giá trị của \(n\) thỏa mãn.
Trường hợp 1: \(k = 1\)
Khi \(k = 1\):
\(n = \frac{7 \left(\right. 1 \left.\right)^{3} - 19}{8 - \left(\right. 1 \left.\right)^{3}} = \frac{7 - 19}{8 - 1} = \frac{- 12}{7}\)
Đây không phải là một số nguyên.
Trường hợp 2: \(k = 2\)
Khi \(k = 2\):
\(n = \frac{7 \left(\right. 2 \left.\right)^{3} - 19}{8 - \left(\right. 2 \left.\right)^{3}} = \frac{7 \times 8 - 19}{8 - 8} = \frac{56 - 19}{0}\)
Đây là phép chia cho 0, không hợp lệ.
Trường hợp 3: \(k = - 1\)
Khi \(k = - 1\):
\(n = \frac{7 \left(\right. - 1 \left.\right)^{3} - 19}{8 - \left(\right. - 1 \left.\right)^{3}} = \frac{7 \left(\right. - 1 \left.\right) - 19}{8 + 1} = \frac{- 7 - 19}{9} = \frac{- 26}{9}\)
Đây không phải là một số nguyên.
Kết luận:
Sau khi thử các giá trị của \(k\), không tìm thấy giá trị \(k\) nào sao cho \(n\) là số nguyên dương. Vậy không tồn tại số nguyên dương \(n\) sao cho \(\frac{8 n + 19}{n + 7}\) là lập phương của một số hữu tỉ.