Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(B=\frac{x^2+4x+85}{3\left(x+2\right)}=\frac{\left(x^2-14x+49\right)+\left(18x+36\right)}{3\left(x+2\right)}\)
\(=\frac{\left(x-7\right)^2+18\left(x+2\right)}{3\left(x+2\right)}=\frac{\left(x-7\right)^2}{3\left(x+2\right)}+6\ge6\forall x>0\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x-7=0\Leftrightarrow x=7\)
Bđt phụ \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\forall\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng ta được :
\(A\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{25}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
Áp dụng bđt: a2 + b2 > = (a + b)2/2
Cm đúng <=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 > = 0
<=> (a - b)2 > = 0 (luôn đúng với mọi a,b
Khi đó, ta có: A = \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
Áp dụng bđt: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
CM đúng <=> (a + b)2 > = 4ab
<=> (a - b)2 > = 0 (luôn đúng với mọi a,b)
Ta lại có: A \(\ge\frac{\left(2+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{4}{1}\right)^2}{2}=18\)
Dấu"=" xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy minA = 18/ <=> x = y = 1/2
a, sửa đề : \(C=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}+\frac{1}{2-x}\)ĐK : \(x\ne-3;2\)
\(=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)-5-x-3}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{x^2-12-x}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{x-4}{x-2}\)
b, Ta có : \(x^2-x=2\Leftrightarrow x^2-x-2=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow x=-1;x=2\)
Kết hợp với giả thiết vậy x = -1
Thay x = -1 vào biểu thức C ta được : \(\frac{-1-4}{-1-2}=-\frac{5}{-3}=\frac{5}{3}\)
c, Ta có : \(C=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{x-4}{x-2}=\frac{1}{2}\Rightarrow2x-8=x-2\Leftrightarrow x=6\)( tm )
d, \(C>1\Rightarrow\frac{x-4}{x-2}>1\Rightarrow\frac{x-4}{x-2}-1>0\Leftrightarrow\frac{x-4-x+2}{x-2}>0\Leftrightarrow\frac{-2}{x-2}>0\)
\(\Rightarrow x-2< 0\Leftrightarrow x< 2\)vì -2 < 0
e, tự làm nhéee
f, \(C< 0\Rightarrow\frac{x+4}{x+2}< 0\)
mà x + 4 > x + 2
\(\hept{\begin{cases}x+4>0\\x+2< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>-4\\x< -2\end{cases}\Leftrightarrow-4< x< -2}}\)
Vì \(x\inℤ\Rightarrow x=-3\)( ktmđk )
Vậy ko có x nguyên để C < 0
g, Ta có : \(\frac{x+4}{x+2}=\frac{x+2+2}{x+2}=1+\frac{2}{x+2}\)
Để C nguyên khi \(x+2\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)
| x + 2 | 1 | -1 | 2 | -2 |
| x | -1 | -3 | 0 | -4 |
h, Ta có : \(D=C\left(x^2-4\right)=\frac{x+4}{x+2}.\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{1}=x^2+2x-8\)
\(=\left(x+1\right)^2-9\ge-9\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = -1
Vậy GTNN D là -9 khi x = -1
Ta có biểu thức:
\(K = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} \left(\right. 1 - x \left.\right)} \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; x > 0\)
⚙️ Phân tích biểu thức
Biểu thức có mẫu số là:
\(x^{2} \left(\right. 1 - x \left.\right)\)
⇒ Biểu thức sẽ đổi dấu tại \(x = 1\), không xác định tại x = 1.
✅ Đặt biến phụ để tìm giá trị nhỏ nhất
Đặt \(t = x^{2} > 0\), suy ra:
\(K = \frac{4 t + 1}{t \left(\right. 1 - \sqrt{t} \left.\right)}\)
Biểu thức này phức tạp do có căn, nên ta chọn cách khác dễ hơn.
📌 Giải bằng đạo hàm (cách nhanh & chính xác)
Biểu thức ban đầu:
\(K \left(\right. x \left.\right) = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} \left(\right. 1 - x \left.\right)} = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} - x^{3}}\)
Gọi:
Ta tìm đạo hàm \(K^{'} \left(\right. x \left.\right)\) để tìm min.
📉 Tìm cực trị bằng đạo hàm
\(K \left(\right. x \left.\right) = \frac{f \left(\right. x \left.\right)}{g \left(\right. x \left.\right)} \Rightarrow K^{'} \left(\right. x \left.\right) = \frac{f^{'} \left(\right. x \left.\right) g \left(\right. x \left.\right) - f \left(\right. x \left.\right) g^{'} \left(\right. x \left.\right)}{\left[\right. g \left(\right. x \left.\right) \left]\right.^{2}}\)
Tính từng phần:
Thế vào:
\(K^{'} \left(\right. x \left.\right) = \frac{8 x \left(\right. x^{2} - x^{3} \left.\right) - \left(\right. 4 x^{2} + 1 \left.\right) \left(\right. 2 x - 3 x^{2} \left.\right)}{\left(\right. x^{2} - x^{3} \left.\right)^{2}}\)
Tử số rút gọn:
Áp dụng phân phối:
\(= 4 x^{2} \left(\right. 2 x - 3 x^{2} \left.\right) + 1 \left(\right. 2 x - 3 x^{2} \left.\right) = 8 x^{3} - 12 x^{4} + 2 x - 3 x^{2}\)
Tử số đạo hàm:
\(\left(\right. 8 x^{3} - 8 x^{4} \left.\right) - \left(\right. 8 x^{3} - 12 x^{4} + 2 x - 3 x^{2} \left.\right) = - 8 x^{4} + 12 x^{4} - 2 x + 3 x^{2} = 4 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x\)
Giải \(K^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0\) ⇔
\(4 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x \left(\right. 4 x^{3} + 3 x - 2 \left.\right) = 0 \Rightarrow x = 0 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; 4 x^{3} + 3 x - 2 = 0\)
Loại \(x = 0\) (vì điều kiện \(x > 0\)).
Giải gần đúng:
\(4 x^{3} + 3 x - 2 = 0\)
Thử \(x = \frac{1}{2}\):
\(4 \left(\right. \frac{1}{8} \left.\right) + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2 \Rightarrow \text{Th}ỏ\text{a}\)
Vậy nghiệm: \(x = \frac{1}{2}\)
✅ Tính K tại \(x = \frac{1}{2}\)
\(K = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} \left(\right. 1 - x \left.\right)} = \frac{4 \cdot \left(\right. \frac{1}{4} \left.\right) + 1}{\left(\right. \frac{1}{4} \left.\right) \left(\right. 1 - \frac{1}{2} \left.\right)} = \frac{1 + 1}{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{8}} = 16\)
✅ Đáp án cuối cùng:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(K\) là:
\(\boxed{16}\)
Khi \(x = \frac{1}{2}\)
Như mình đã phân tích, nếu bạn chỉ lấy \(x\) trong khoảng mà mẫu dương (tức \(0 < x < 1\)), thì \(K \left(\right. x \left.\right)\) có đúng một điểm cực tiểu tại
\(x = \frac{1}{2} ,\)
và
\(K \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right) = 16.\)
Nhưng nếu bạn để \(x > 0\) (kể cả \(x > 1\), nơi mẫu số trở thành âm), thì ngay khi \(x \rightarrow 1^{+}\) mẫu số \(\textrm{ } x^{2} \left(\right. 1 - x \left.\right) \rightarrow 0^{-}\) trong khi tử số \(4 x^{2} + 1 \rightarrow 5 > 0\), nên
\(K \left(\right. x \left.\right) \rightarrow - \infty .\)
Như vậy trên toàn bộ miền xác định \(x > 0 , \textrm{ }\textrm{ } x \neq 1\), \(K\) không có giá trị nhỏ nhất (nó giội về \(- \infty\) khi \(x \rightarrow 1^{+}\)).
Kmin=16 tại x=12.\boxed{K_{\min}=16\text{ tại }x=\tfrac12.}
\(\boxed{K \&\text{nbsp};\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tr}ị\&\text{nbsp};\text{nh}ỏ\&\text{nbsp};\text{nh} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};( inf K = - \infty ).}\)