Gọi AM là tia đối của tia AB

=>\(\hat{MAC}\) là góc ngoài tại đỉnh A của ΔABC

Theo đề, ta có: Ax là phân giác của góc MAC

Ta có: ΔABC đều

=>\(\hat{BAC}=\hat{ABC}=\hat{ACB}=60^0\)

Ta có: \(\hat{MAC}+\hat{BAC}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{MAC}=180^0-60^0=120^0\)

Ta có: Ax là phân giác của góc MAC

=>\(\hat{xAM}=\hat{xAC}=\hat{\frac{MAC}{2}}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

Ta có: \(\hat{xAM}=\hat{ABC}\left(=60^0\right)\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên Ax//BC

Ta có: Ax//BC

AH⊥BC

Do đó: Ax⊥HA

=>\(\hat{xAH}=90^0\)

Ta có đề bài:

• Tam giác ABC đều → tam giác có ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau. Mỗi góc trong là 60°.
• Vẽ Ax là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A.
• Vẽ đường cao AH từ A xuống cạnh BC (do tam giác đều nên AH vừa là đường cao, phân giác, và trung tuyến).
• Cần chứng minh góc HAx = 90°.

Phân tích:

• Tam giác ABC đều ⇒ ∠A = 60°.
• Gọi góc ngoài tại A là góc tạo bởi tia AB và tia đối của AC (hoặc ngược lại), nên góc ngoài tại A = 180° – 60° = 120°.
• Ax là tia phân giác của góc ngoài tại A ⇒ góc xAB = góc xAC = 60°.
• AH là đường cao ⇒ vuông góc với BC tại H ⇒ ∠AHC = ∠AHB = 90°.

Chứng minh góc HAx = 90°:

• Xét tam giác đều ABC, vẽ Ax là phân giác của góc ngoài tại A, tức tạo với AB và AC hai góc bằng nhau 60°.
• Vì Ax tạo góc 60° với AB và với AC, còn AH nằm giữa AB và AC, nên xét góc HAx, chính là góc giữa AH và Ax.

Giờ ta sẽ chứng minh: ∠HAx = 90°.

Cách làm:

• Tam giác ABC đều ⇒ ∠BAC = 60°.
• Góc ngoài tại A là 180° – 60° = 120°, tia Ax phân giác góc ngoài ⇒ tạo với AB và AC hai góc mỗi góc là 60°.
• Do đó: góc giữa AH (nằm trong tam giác) và tia Ax (phân giác góc ngoài) là 90°, vì tổng ba góc:
• • ∠HAB (trong tam giác đều, đường cao) = 30°
  • ∠xAB = 60°
    ⇒ ∠HAx = ∠xAB – ∠HAB = 60° – 30° = 30° ??? Sai!

Vậy cách làm này hơi phức tạp – ta cần cách khác:

Dùng tọa độ để chứng minh (giải hình học chính xác):

Giả sử ta đặt tam giác ABC đều trong hệ tọa độ:

• Đặt A(0, √3), B(–1, 0), C(1, 0)

Tam giác ABC đều cạnh 2, chiều cao √3.

⇒ AH là đường cao từ A xuống BC ⇒ AH vuông góc với BC.

Gọi H là chân đường cao từ A, thì H nằm trên trục hoành (vì BC nằm ngang), AH vuông góc với BC.

⇒ H có tọa độ (0, 0).

Tìm vector AH và vector Ax:

• Vector AH = H – A = (0, 0) – (0, √3) = (0, –√3)
• Tìm vector Ax:
• • Gọi góc ngoài tại A là giữa tia AB và tiếp tục của tia CA, tổng là 120°, phân giác của nó là tia tạo góc 60° với AB và AC.
  • Do AB có vector → (–1, –√3), AC có vector → (1, –√3)
  • Vector phân giác của góc ngoài tại A có hướng trung bình có hướng của hai vectơ đối của AB và AC:
    Ta dùng cách tìm phân giác của góc ngoài giữa hai vectơ:
    ⇒ Phân giác của góc ngoài chính là trục nằm ngang trái, vector Ax có phương (–1, 0)
  • • AB = (–1, –√3), AC = (1, –√3)
    • Đối của AC là (–1, √3)
    • Tổng AB + (–AC) = (–1, –√3) + (–1, √3) = (–2, 0)

⇒ Vector Ax = (–1, 0)

Góc giữa AH và Ax:

• Vector AH = (0, –√3)
• Vector Ax = (–1, 0)

Tính tích vô hướng:

\(\overset{⃗}{A H} \cdot \overset{⃗}{A x} = \left(\right. 0 \left.\right) \left(\right. – 1 \left.\right) + \left(\right. –\sqrt{} 3 \left.\right) \left(\right. 0 \left.\right) = 0\)

⇒ Hai vector vuông góc nhau.

Kết luận:

\(\boxed{\angle H A x = 90^{\circ}}\)

Vậy góc HAx vuông. □