Câu hỏi của Võ Trần Minh Thư

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao, trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho HD=HA Chứng minh rằng:
a)BC là đường trung trực của đoạn AD ...

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

a: Ta có: HD=HA

mà H nằm giữa A và D

nên H là trung điểm của AD

Ta có: BC⊥AD tại H

mà H là trung điểm của AD

nên BC là đường trung trực của AD

b: Xét ΔAHC vuông tại H và ΔDHC vuông tại H có

HC chung

HA=HD

Do đó: ΔAHC=ΔDHC

=>CA=CD

=>ΔCAD cân tại C

c: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHDE vuông tại H có

HA=HD

$\hat{HAB}=\hat{HDE}$ (hai góc so le trong, AB//DE)

Do đó: ΔHAB=ΔHDE

=>AB=DE và HB=HE

Ta có: DE//AB

AB⊥AC

Do đó: DE⊥AC

Xét ΔCAD có

CH,DE là các đường cao

CH cắt DE tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔCAD

=>AE⊥CD

Câu trả lời:

a: Ta có: HD=HA

mà H nằm giữa A và D

nên H là trung điểm của AD

Ta có: BC⊥AD tại H

mà H là trung điểm của AD

nên BC là đường trung trực của AD

b: Xét ΔAHC vuông tại H và ΔDHC vuông tại H có

HC chung

HA=HD

Do đó: ΔAHC=ΔDHC

=>CA=CD

=>ΔCAD cân tại C

c: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHDE vuông tại H có

HA=HD

$\hat{HAB}=\hat{HDE}$ (hai góc so le trong, AB//DE)

Do đó: ΔHAB=ΔHDE

=>AB=DE và HB=HE

Ta có: DE//AB

AB⊥AC

Do đó: DE⊥AC

Xét ΔCAD có

CH,DE là các đường cao

CH cắt DE tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔCAD

=>AE⊥CD

🏳‍🌈🌈 N ɠ ∐ y ễ ∏ &lt;🍙&gt; Ď ʉ y &l... · Answer

Ta sẽ lần lượt giải bài toán hình học này theo từng phần. Giả sử tam giác $A B C$ vuông tại $A$, với $A B < A C$, và $A H \bot B C$ là đường cao từ $A$. Trên tia đối của $A H$, lấy điểm $D$ sao cho $H D = H A$.

🔹 a) Chứng minh $B C$ là đường trung trực của đoạn $A D$

🔸 Chứng minh:

$D$ thuộc tia đối của $A H$, và $H D = H A$, nên điểm $H$ là trung điểm của đoạn $A D$.
$A H \bot B C$, do đó $A D \bot B C$ vì $A H \parallel A D$ (do $H$ là trung điểm).
Vậy đường thẳng $B C$ vừa vuông góc với $A D$, vừa đi qua trung điểm $H$ của $A D$.

👉 Kết luận: $B C$ là đường trung trực của đoạn $A D$.

🔹 b) Chứng minh $\triangle A H C = \triangle D H C$ và $\triangle A C D$ cân

🔸 Chứng minh $\triangle A H C = \triangle D H C$:

Xét hai tam giác $\triangle A H C$ và $\triangle D H C$:

Có: $H A = H D$ (giả thiết)
$H C$ chung
$\angle A H C = \angle D H C = 90^{\circ}$ (do $A H \bot B C$, $A D \bot B C$)

=> $\triangle A H C = \triangle D H C$ (theo cạnh – huyền – góc vuông)

👉 Suy ra: $A C = D C$

🔸 Tam giác $A C D$ cân tại C:

Từ $A C = D C$ vừa chứng minh ⇒ tam giác $A C D$ cân tại đỉnh C.

🔹 c) Từ D vẽ đường thẳng song song với cạnh AB cắt BC tại E. Chứng minh $D E = A B$ và $A E \bot C D$

Gọi đường thẳng $D E \parallel A B$, cắt $B C$ tại $E$.

🔸 Chứng minh $D E = A B$:

$D E \parallel A B$, nên tứ giác $A B E D$ là hình bình hành nếu $A$ nối với $E$.
$A B \parallel D E$ và cùng cắt bởi $A E$, nên nếu ta chứng minh $A B E D$ là hình bình hành thì $D E = A B$.

Xét tam giác vuông $A B C$, từ $D$ vẽ $D E \parallel A B$, cắt $B C$ tại $E$:

Do $D E \parallel A B$, nên trong tam giác $A B C$, ta có thể sử dụng tính chất đường song song:
$\text{N} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp}; D E \parallel A B \Rightarrow \text{Tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp}; D C E sim \text{Tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp}; A B C$
Do $\triangle A B C$ vuông tại $A$, và $D E \parallel A B$, nên hai cạnh tương ứng bằng nhau:
$DE=AB\left(\right.\text{do tam gi}\overset{ˊ}{\text{a}}\text{c }đ\overset{ˋ}{\hat{\text{o}}}\text{ng d}ạ\text{ng c}\overset{ˋ}{\text{u}}\text{ng t}ỉ\text{ l}ệ\text{ 1}:\text{1}\left.\right)$

👉 Kết luận: $D E = A B$

🔸 Chứng minh $A E \bot C D$

Ta đã có: $D E \parallel A B$, mà $A B \bot A C$ (tam giác vuông tại A), suy ra:
$D E \bot A C$
Mặt khác, từ tam giác cân $\triangle A C D$ tại C ⇒ $A C = D C$
Do đó, nếu $D E \bot A C$, thì suy ra $A E \bot C D$, vì tam giác cân có tính đối xứng trục.

👉 Kết luận: $A E \bot C D$

✅ Tóm tắt kết quả:

a) $B C$ là đường trung trực của đoạn $A D$
b) $\triangle A H C = \triangle D H C$, và tam giác $A C D$ cân tại C
c) $D E = A B$, và $A E \bot C D$

Nếu bạn muốn mình vẽ hình minh họa hoặc giải chi tiết hơn theo tọa độ/hình học phẳng, mình sẵn sàng hỗ trợ thêm!

Câu trả lời:

Ta sẽ lần lượt giải bài toán hình học này theo từng phần. Giả sử tam giác $A B C$ vuông tại $A$, với $A B < A C$, và $A H \bot B C$ là đường cao từ $A$. Trên tia đối của $A H$, lấy điểm $D$ sao cho $H D = H A$.

🔹 a) Chứng minh $B C$ là đường trung trực của đoạn $A D$

🔸 Chứng minh:

$D$ thuộc tia đối của $A H$, và $H D = H A$, nên điểm $H$ là trung điểm của đoạn $A D$.
$A H \bot B C$, do đó $A D \bot B C$ vì $A H \parallel A D$ (do $H$ là trung điểm).
Vậy đường thẳng $B C$ vừa vuông góc với $A D$, vừa đi qua trung điểm $H$ của $A D$.

👉 Kết luận: $B C$ là đường trung trực của đoạn $A D$.

🔹 b) Chứng minh $\triangle A H C = \triangle D H C$ và $\triangle A C D$ cân

🔸 Chứng minh $\triangle A H C = \triangle D H C$:

Xét hai tam giác $\triangle A H C$ và $\triangle D H C$:

Có: $H A = H D$ (giả thiết)
$H C$ chung
$\angle A H C = \angle D H C = 90^{\circ}$ (do $A H \bot B C$, $A D \bot B C$)

=> $\triangle A H C = \triangle D H C$ (theo cạnh – huyền – góc vuông)

👉 Suy ra: $A C = D C$

🔸 Tam giác $A C D$ cân tại C:

Từ $A C = D C$ vừa chứng minh ⇒ tam giác $A C D$ cân tại đỉnh C.

🔹 c) Từ D vẽ đường thẳng song song với cạnh AB cắt BC tại E. Chứng minh $D E = A B$ và $A E \bot C D$

Gọi đường thẳng $D E \parallel A B$, cắt $B C$ tại $E$.

🔸 Chứng minh $D E = A B$:

$D E \parallel A B$, nên tứ giác $A B E D$ là hình bình hành nếu $A$ nối với $E$.
$A B \parallel D E$ và cùng cắt bởi $A E$, nên nếu ta chứng minh $A B E D$ là hình bình hành thì $D E = A B$.

Xét tam giác vuông $A B C$, từ $D$ vẽ $D E \parallel A B$, cắt $B C$ tại $E$:

Do $D E \parallel A B$, nên trong tam giác $A B C$, ta có thể sử dụng tính chất đường song song:
$\text{N} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp}; D E \parallel A B \Rightarrow \text{Tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp}; D C E sim \text{Tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp}; A B C$
Do $\triangle A B C$ vuông tại $A$, và $D E \parallel A B$, nên hai cạnh tương ứng bằng nhau:
$DE=AB\left(\right.\text{do tam gi}\overset{ˊ}{\text{a}}\text{c }đ\overset{ˋ}{\hat{\text{o}}}\text{ng d}ạ\text{ng c}\overset{ˋ}{\text{u}}\text{ng t}ỉ\text{ l}ệ\text{ 1}:\text{1}\left.\right)$

👉 Kết luận: $D E = A B$

🔸 Chứng minh $A E \bot C D$

Ta đã có: $D E \parallel A B$, mà $A B \bot A C$ (tam giác vuông tại A), suy ra:
$D E \bot A C$
Mặt khác, từ tam giác cân $\triangle A C D$ tại C ⇒ $A C = D C$
Do đó, nếu $D E \bot A C$, thì suy ra $A E \bot C D$, vì tam giác cân có tính đối xứng trục.

👉 Kết luận: $A E \bot C D$

✅ Tóm tắt kết quả:

a) $B C$ là đường trung trực của đoạn $A D$
b) $\triangle A H C = \triangle D H C$, và tam giác $A C D$ cân tại C
c) $D E = A B$, và $A E \bot C D$

Nếu bạn muốn mình vẽ hình minh họa hoặc giải chi tiết hơn theo tọa độ/hình học phẳng, mình sẵn sàng hỗ trợ thêm!

🔹 a) Chứng minh \(B C\) là đường trung trực của đoạn \(A D\)

🔸 Chứng minh:

🔹 b) Chứng minh \(\triangle A H C = \triangle D H C\) và \(\triangle A C D\) cân

🔸 Chứng minh \(\triangle A H C = \triangle D H C\):

🔸 Tam giác \(A C D\) cân tại C:

🔹 c) Từ D vẽ đường thẳng song song với cạnh AB cắt BC tại E. Chứng minh \(D E = A B\) và \(A E \bot C D\)

🔸 Chứng minh \(D E = A B\):

🔸 Chứng minh \(A E \bot C D\)

✅ Tóm tắt kết quả:

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

🔹 a) Chứng minh \(B C\) là đường trung trực của đoạn \(A D\)

🔸 Chứng minh:

🔹 b) Chứng minh \(\triangle A H C = \triangle D H C\) và \(\triangle A C D\) cân

🔸 Chứng minh \(\triangle A H C = \triangle D H C\):

🔸 Tam giác \(A C D\) cân tại C:

🔹 c) Từ D vẽ đường thẳng song song với cạnh AB cắt BC tại E. Chứng minh \(D E = A B\) và \(A E \bot C D\)

🔸 Chứng minh \(D E = A B\):

🔸 Chứng minh \(A E \bot C D\)

✅ Tóm tắt kết quả:

Bảng xếp hạng

Phần quà đặc biệt từ OLM

Hè này, gói VIP OLM có gì cho bạn?

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP