Câu hỏi của jjhghj

Question

CM với mọi số nguyên n thì B=10^n-18n-1 chia hết cho 27

🏳‍🌈🌈 N ɠ ∐ y ễ ∏ &lt;🍙&gt; Ď ʉ y &l... · Accepted Answer

Để chứng minh $B = 10^{n} - 18 n - 1$ chia hết cho 27 với mọi số nguyên $n$, ta sẽ sử dụng quy tắc chứng minh tính chia hết của một biểu thức đối với một số nhất định. Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh rằng:

$B = 10^{n} - 18 n - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right)$

Bước 1: Chứng minh với các giá trị nhỏ của $n$

Trước tiên, ta kiểm tra với các giá trị nhỏ của $n$ để xem biểu thức có chia hết cho 27 hay không.

Khi $n = 0$:

$B = 10^{0} - 18 \times 0 - 1 = 1 - 1 = 0.$

Dễ dàng nhận thấy rằng $B = 0$, rõ ràng $0$ chia hết cho 27.

Khi $n = 1$:

$B = 10^{1} - 18 \times 1 - 1 = 10 - 18 - 1 = - 9.$

Vì $- 9 \equiv 18 \left(\right. m o d 27 \left.\right)$, ta thấy rằng $B \equiv 18 \left(\right. m o d 27 \left.\right)$, do đó, $B$ không chia hết cho 27.

Khi $n = 2$:

$B = 10^{2} - 18 \times 2 - 1 = 100 - 36 - 1 = 63.$

Vì $63 \div 27 = 2$, nên $B = 63$ chia hết cho 27.

Bước 2: Chứng minh tổng quát

Để chứng minh rằng $B = 10^{n} - 18 n - 1$ chia hết cho 27 với mọi số nguyên $n$, chúng ta sẽ chứng minh thông qua quy tắc quy nạp.

Bước 2.1: Định lý quy nạp

Giả sử với một giá trị $n = k$, ta có giả thiết rằng $B_{k} = 10^{k} - 18 k - 1$ chia hết cho 27, tức là:

$10^{k} - 18 k - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right) .$

Điều này có nghĩa là:

$10^{k} - 18 k - 1 = 27 m \text{cho}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n} \textrm{ } m .$

Bước 2.2: Chứng minh cho $n = k + 1$

Ta cần chứng minh rằng với $n = k + 1$, ta có $B_{k + 1} = 10^{k + 1} - 18 \left(\right. k + 1 \left.\right) - 1$ chia hết cho 27. Ta có:

$B_{k + 1} = 10^{k + 1} - 18 \left(\right. k + 1 \left.\right) - 1 = 10 \times 10^{k} - 18 k - 18 - 1.$

Ta có thể viết lại:

$B_{k + 1} = 10 \times 10^{k} - 18 k - 19.$

Vì theo giả thiết quy nạp, ta có:

$10^{k} - 18 k - 1 = 27 m \text{cho}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n} \textrm{ } m ,$

nên ta thay vào:

$B_{k + 1} = 10 \left(\right. 10^{k} - 18 k - 1 \left.\right) + 10 - 19 = 10 \times 27 m + 10 - 19 = 270 m - 9.$

Rõ ràng $270 m - 9$ chia hết cho 27, vì $270 m - 9 = 27 \left(\right. 10 m - 1 \left.\right)$, mà 27 chia hết cho 27.

Kết luận

Vậy ta đã chứng minh bằng quy nạp rằng đối với mọi số nguyên $n$, $B = 10^{n} - 18 n - 1$ luôn chia hết cho 27.

Câu trả lời:

Để chứng minh $B = 10^{n} - 18 n - 1$ chia hết cho 27 với mọi số nguyên $n$, ta sẽ sử dụng quy tắc chứng minh tính chia hết của một biểu thức đối với một số nhất định. Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh rằng:

$B = 10^{n} - 18 n - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right)$

Bước 1: Chứng minh với các giá trị nhỏ của $n$

Trước tiên, ta kiểm tra với các giá trị nhỏ của $n$ để xem biểu thức có chia hết cho 27 hay không.

Khi $n = 0$:

$B = 10^{0} - 18 \times 0 - 1 = 1 - 1 = 0.$

Dễ dàng nhận thấy rằng $B = 0$, rõ ràng $0$ chia hết cho 27.

Khi $n = 1$:

$B = 10^{1} - 18 \times 1 - 1 = 10 - 18 - 1 = - 9.$

Vì $- 9 \equiv 18 \left(\right. m o d 27 \left.\right)$, ta thấy rằng $B \equiv 18 \left(\right. m o d 27 \left.\right)$, do đó, $B$ không chia hết cho 27.

Khi $n = 2$:

$B = 10^{2} - 18 \times 2 - 1 = 100 - 36 - 1 = 63.$

Vì $63 \div 27 = 2$, nên $B = 63$ chia hết cho 27.

Bước 2: Chứng minh tổng quát

Để chứng minh rằng $B = 10^{n} - 18 n - 1$ chia hết cho 27 với mọi số nguyên $n$, chúng ta sẽ chứng minh thông qua quy tắc quy nạp.

Bước 2.1: Định lý quy nạp

Giả sử với một giá trị $n = k$, ta có giả thiết rằng $B_{k} = 10^{k} - 18 k - 1$ chia hết cho 27, tức là:

$10^{k} - 18 k - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right) .$

Điều này có nghĩa là:

$10^{k} - 18 k - 1 = 27 m \text{cho}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n} \textrm{ } m .$

Bước 2.2: Chứng minh cho $n = k + 1$

Ta cần chứng minh rằng với $n = k + 1$, ta có $B_{k + 1} = 10^{k + 1} - 18 \left(\right. k + 1 \left.\right) - 1$ chia hết cho 27. Ta có:

$B_{k + 1} = 10^{k + 1} - 18 \left(\right. k + 1 \left.\right) - 1 = 10 \times 10^{k} - 18 k - 18 - 1.$

Ta có thể viết lại:

$B_{k + 1} = 10 \times 10^{k} - 18 k - 19.$

Vì theo giả thiết quy nạp, ta có:

$10^{k} - 18 k - 1 = 27 m \text{cho}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n} \textrm{ } m ,$

nên ta thay vào:

$B_{k + 1} = 10 \left(\right. 10^{k} - 18 k - 1 \left.\right) + 10 - 19 = 10 \times 27 m + 10 - 19 = 270 m - 9.$

Rõ ràng $270 m - 9$ chia hết cho 27, vì $270 m - 9 = 27 \left(\right. 10 m - 1 \left.\right)$, mà 27 chia hết cho 27.

Kết luận

Vậy ta đã chứng minh bằng quy nạp rằng đối với mọi số nguyên $n$, $B = 10^{n} - 18 n - 1$ luôn chia hết cho 27.

Bước 1: Chứng minh với các giá trị nhỏ của \(n\)

Khi \(n = 0\):

Khi \(n = 1\):

Khi \(n = 2\):

Bước 2: Chứng minh tổng quát

Bước 2.1: Định lý quy nạp

Bước 2.2: Chứng minh cho \(n = k + 1\)

Kết luận

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bước 1: Chứng minh với các giá trị nhỏ của \(n\)

Khi \(n = 0\):

Khi \(n = 1\):

Khi \(n = 2\):

Bước 2: Chứng minh tổng quát

Bước 2.1: Định lý quy nạp

Bước 2.2: Chứng minh cho \(n = k + 1\)

Kết luận

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP