Vì vai trò của x,y,z là như nhau nên ta đặt: \(0\le x\le y\le z\le1\)

Ta có:\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{xy+1}+\frac{z}{xy+1}=\frac{x+y+z}{xy+1}\left(1\right)\)

Ta lại có: \(0\le x\le1;0\le y\le1\) 

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy-x-y+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\left(2\right)\)

Từ (2);(1) và \(z\le1\) suy ra: \(\frac{x+y+z}{xy+1}\le\frac{\left(xy+1\right)+1}{xy+1}\le\frac{2xy+2}{xy+1}=2\)

ta có\(6^x.\frac{20}{41-\left(2^x+1\right)}=2^3.5\)

=> \(\frac{6^x.20}{42-2^x}=40\)

=> \(6^x.20=40.\left(42-2^x\right)\)

=>\(6^x=2.\left(42-2^x\right)\)

=>  \(6^x=84-2.2^x\)

=>  \(6^x+2^{x+1}=84\)

+ với x = 0 => \(6^x+2^{x+1}=3\) (loại)

+ với x = 1 => \(6^x+2^{x+1}=10\) (loại)

với x = 2  => \(6^x+2^{x+1}=44\)(loại)

với x > 3 => \(6^x+2^{x+1}\ge232\)(loại)

vậy không có giá trị x thỏa mãn
 

1.     \(\frac{x^3-10x^2+25x}{x^2-5x}\)\(=0\)  ( đkxđ: \(x\ne0;5\))

<=> \(\frac{x\left(x-5\right)^2}{x\left(x-5\right)}=0\)<=>   \(x-5=0\)<=> vô n_o

_{2.       \(A=\)\(\frac{2x^2-2}{x^3-x^2-4x+4}\)\(=\frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)}   ( a, đkxđ: \(x\ne1;\pm2\))

b, \(A=0\)<=> \(\frac{2\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=0\)<=> \(x=-1\)( TM) . Vậy \(A=0\Leftrightarrow x=-1\)

3.    \(B=\frac{3x^2-12}{\left(x-3\right)\left(x^2+4x+4\right)}\)\(=\frac{3\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)^2}\) ( a,  đkxđ: \(x\ne3,-2\))

\(b,B=0\Leftrightarrow\frac{3\left(x-2\right)}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=0\Leftrightarrow x=2\left(tm\right)\). Vậy \(B=0\Leftrightarrow x=2\)

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\)

\(VP=\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\le\frac{a+b}{2}\sqrt{2\left(a+b\right)}\)\(\Rightarrow\)\(VP^2\le\frac{\left(a+b\right)^3}{2}\) (1) 

chứng minh bổ đề: \(VT^2=\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}\right)^2\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(a+b\right)^4}{4}+\frac{\left(a+b\right)^2}{16}+\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^4+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge\left(a+b\right)^3\)

Có: \(\left(a+b\right)^4+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^6}{4}}=\left(a+b\right)^3\)\(\Rightarrow\)\(VT^2\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{2}\) (2) 

(1) và (2) => \(VT^2\ge VP^2\) => \(VT\ge VP\) ( đpcm ) 

\(ab+bc+ca=1\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge\sqrt{3}\\a^2+b^2+c^2\ge1\end{cases}}\)

\(\left(a-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(a\le\frac{\sqrt{3}}{2}a^2+\frac{\sqrt{3}}{6}\)

\(P=\Sigma\frac{a^2\left(1-2b\right)^2}{b\left(1-2b\right)}\ge\frac{\left(a+b+c-2\right)^2}{\left(a+b+c\right)-2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\frac{\left(a+b+c-2\right)^2}{\frac{\sqrt{3}-4}{2}\Sigma a^2+\frac{\sqrt{3}}{2}}\ge\sqrt{3}-2\)

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. CMR: \(a^2+b^2+c^2\ge3\)

Ta cần tìm m, n để bđt sau luôn đúng \(a^2\ge ma+n\) (1) 

tương tự: \(b^2\ge mb+n;c^2\ge mc+n\)

cộng 3 bđt lại ta đc: \(a^2+b^2+c^2\ge m\left(a+b+c\right)+3n=3m+3n\)

dự đoán cực trị xảy ra tại a=b=c=1 nên \(3m+3n=\left(a^2+b^2+c^2\right)_{min}=3\)\(\Rightarrow\)\(n=1-m\)

thay n=1-m vào (1) : \(a^2\ge ma-m+1\)(2)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)\left(a+1\right)\ge m\left(a-1\right)\)

đồng nhất hệ số : \(a+1=m\)\(\Leftrightarrow\)\(m=a+1=1+1=2\) (dấu "=" xảy ra tại a=1)

thay m=2 vào (2) ta có bđt cần CM: \(a^2\ge2a-1\) ( với \(0< a< 3\) ) 

bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)^2\ge0\) luôn đúng 

do đó: \(a^2+b^2+c^2\ge2a-1+2b-1+2c-1=2\left(a+b+c\right)-3=2.3-3=3\)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

\(B=\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1}\)

\(x^2+x+1=bx^2+2xb+b\)

\(x^2\left(1-b\right)+x\left(1-2b\right)+\left(1-b\right)\)

chọn b để pt lớn hơn hoặc = 0 " tức denta =0

\(\Delta=\left(1-2b\right)^2-4\left(1-b\right)^2=0\)

giải nhanh b=3/4 , thay b=3/4 vòa

\(x^2\left(1-\frac{3}{4}\right)+x\left(1-\frac{6}{4}\right)+\left(1-\frac{3}{4}\right)\ge0\)" vì denta=0"

dấu = xảy ra khi x= +- căn 3 " tự giải pt " chúa chỉ làm thế

Cặp có thứ tự các số nguyên \(\left(x,y\right)\)được gọi là điểm nguyên thủy nếu ước số chung lớn nhất của \(x\) và \(y\) bằng 1. Cho tập \(S\)gồm hữu hạn điểm nguyên thủy. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương \(n\)và các số nguyên \(a_1,a_2,...,a_n\) sao cho với mỗi điểm \(\left(x,y\right)\)thuộc \(S\), ta có:

                                      \(a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+...+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1\)

@Vanan Vuong : Tìm m để pt (x-7)(x-6)(x+2)(x+3) = m có 4 nghiệm phân biệt t/m \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=4\)

\(Pt:\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x-7\right)\left(x+3\right)\right]\left[\left(x-6\right)\left(x+2\right)\right]=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x-21\right)\left(x^2-4x-12\right)=m\)(1)

Đặt \(\left(x-2\right)^2=a\left(a\ge0\right)\)

\(\Rightarrow a=x^2-4x+4\)

Như vậy , vs mỗi giá trị của a , ta tìm được nhiều nhất 2 giá trị của x

\(Pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a-26\right)\left(a-16\right)=m\)

              \(\Leftrightarrow a^2-42a+416=m\)

              \(\Leftrightarrow a^2-42a+416-m=0\)(2)

Để pt ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

Tức là \(\hept{\begin{cases}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}441-416+m>0\\42>0\left(Luonđung\right)\\416-m>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>-25\\m< 416\end{cases}}\Leftrightarrow-25< m< 416\)

Khi đó theo hệ thức Vi-ét \(\hept{\begin{cases}a_1+a_2=42\\a_1a_2=416-m\end{cases}}\)

Với giá trị của m vừa tìm đc ở trên thì mỗi giá trị a₁ và a₂ sẽ nhận 2 giá trị của x 

Giả sử a₁ nhận 2 nghiệm x₁ và x₂ còn a₂ nhận 2 nghiệm x₃ và x₄ (đoạn này ko hiểu ib nhá)

*Xét a₁ nhận x₁ và x₂ 

Khi đó phương trình \(a_1=x^2-4x+4\) sẽ nhận 2 nghiệm x₁ và x₂

 \(pt\Leftrightarrow x^2-4x+4-a_1=0\)(Đoạn này ko cần Delta nữa vì mình đã giả sử có nghiệm rồi)

Theo hệ thức Vi-ét \(\)\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=4\\x_1x_2=4-a_1\end{cases}}\)

*Xét a₂ nhận x₃ và x₄

Tương tự trường hợp trên ta cũng đc \(\hept{\begin{cases}x_3+x_4=4\\x_3x_4=4-a_2\end{cases}}\)

Ta có \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=4\)

 \(\Leftrightarrow\frac{4}{4-a_1}+\frac{4}{4-a_2}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4-a_1}+\frac{1}{4-a_2}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{4-a_2+4-a_1}{\left(4-a_1\right)\left(4-a_2\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{8-\left(a_1+a_2\right)}{16-4\left(a_1+a_2\right)+a_1a_2}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{8-42}{16-4.42+416-m}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{-34}{264-m}=1\)

\(\Leftrightarrow-34=264-m\)

\(\Leftrightarrow m=298\)(Thỏa mãn)

Tính toán có sai sót gì thì tự fix nhá :V