Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Giải:
Đặt \(A_n=11^{n+2}+12^{2n+1}\)\((*)\) Với \(n=0\) ta có:
\(A_0=11^2+12^1=133\) \(⋮133\Rightarrow\) \((*)\) đúng
Giả sử \((*)\) đúng đến giá trị \(k=n\) tức là:
\(B_k=11^{k+2}+12^{2k+1}\) \(⋮133\left(1\right)\)
Xét \(B_{k+1}-B_k\)
\(=11^{k+1+2}+12^{2\left(k+1\right)+1}-\left(11^{k+2}+12^{2k+1}\right)\)
\(=11^{k+3}-11^{k+2}+12^{2k+3}-12^{2k+1}\)
\(=10.11^{k+2}+143.12^{2k+1}\)
\(=10.121.11^k+143.12.144^k\)
\(\equiv\) \(10.121.11^k+10.12.11^k\)
\(\equiv\) \(10.11^k\left(121+12\right)\) \(\equiv\) \(0\left(mod133\right)\)
Theo giả thiết quy nạy \(\left(1\right)\) ta có: \(B_k⋮133\Leftrightarrow B_{k+1}⋮133\)
Hay \((*)\) đúng với \(n=k+1\) \(\Rightarrow\) Đpcm
a) \(n^3+3n^2+2n=n^3+n^2+2n^2+2n\)
\(=n^3+n^2+2n^2+2n\)
\(=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)
\(=\left(n^2+2n\right)\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n+2\right)\left(n+1\right)\)
Vì n, n+1, n+2 là 3 số nguyên liên tiếp, mà trong 3 số nguyên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3
=>n3+3n2+2n chia hết cho 3
b)Để A chia hết cho 15 thì A phải chia hết cho 3 và 5
Ta đã chứng minh được A chia hết cho 3 với mọi số nguyên n ở phần a)
A chia hết cho 5 <=> n(n+1)(n+5) chia hết cho 5
+)Nếu n chia hết cho 5
=>n\(\in\){0;5}
+)Nếu n+1 chia hết cho 5
=>n\(\in\){4;9}
+)Nếu n+2 chia hết cho 5
=>n\(\in\){3;8}
Vậy n\(\in\){0;3;4;5;8;9} thì A sẽ chia hết cho 15
Trả My làm đúng nhưng phần b cậu thừa 1 đáp án nhé. Vì đề bài cho là tìm giá trị nguyên dương của n mà số 0 không phải là số nguyên dương cũng không phải số nguyên âm đâu nên loại đáp án là 0.
Ta có: \(n^3+3n^2+2n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 3
hay \(n^3+3n^2+2n\) chia hết cho 3
Để chứng minh rằng biểu thức \(2n^4 + 4n^3 + 3n^2 + n + 8\) không chia hết cho 27 đối với mọi số nguyên \(n\), ta sẽ sử dụng phương pháp kiểm tra theo các giá trị của \(n\) modulo 27.
### Bước 1: Cấu trúc lại biểu thức
Biểu thức cần kiểm tra là:
\[
P(n) = 2n^4 + 4n^3 + 3n^2 + n + 8
\]
Chúng ta sẽ kiểm tra \(P(n) \mod 27\) đối với các giá trị khác nhau của \(n\).
### Bước 2: Kiểm tra đối với một số giá trị của \(n\)
Ta sẽ thử một số giá trị của \(n\) modulo 27 để xem liệu có bất kỳ giá trị nào mà \(P(n)\) chia hết cho 27 không.
#### Kiểm tra \(n = 0\):
\[
P(0) = 2(0)^4 + 4(0)^3 + 3(0)^2 + (0) + 8 = 8
\]
\(P(0) = 8 \mod 27\), không chia hết cho 27.
#### Kiểm tra \(n = 1\):
\[
P(1) = 2(1)^4 + 4(1)^3 + 3(1)^2 + (1) + 8 = 2 + 4 + 3 + 1 + 8 = 18
\]
\(P(1) = 18 \mod 27\), không chia hết cho 27.
#### Kiểm tra \(n = 2\):
\[
P(2) = 2(2)^4 + 4(2)^3 + 3(2)^2 + (2) + 8 = 2(16) + 4(8) + 3(4) + 2 + 8 = 32 + 32 + 12 + 2 + 8 = 86
\]
\(P(2) = 86 \mod 27 = 86 - 3 \times 27 = 86 - 81 = 5\), không chia hết cho 27.
#### Kiểm tra \(n = 3\):
\[
P(3) = 2(3)^4 + 4(3)^3 + 3(3)^2 + (3) + 8 = 2(81) + 4(27) + 3(9) + 3 + 8 = 162 + 108 + 27 + 3 + 8 = 308
\]
\(P(3) = 308 \mod 27 = 308 - 11 \times 27 = 308 - 297 = 11\), không chia hết cho 27.
#### Kiểm tra \(n = 4\):
\[
P(4) = 2(4)^4 + 4(4)^3 + 3(4)^2 + (4) + 8 = 2(256) + 4(64) + 3(16) + 4 + 8 = 512 + 256 + 48 + 4 + 8 = 828
\]
\(P(4) = 828 \mod 27 = 828 - 30 \times 27 = 828 - 810 = 18\), không chia hết cho 27.
### Bước 3: Tổng kết
Chúng ta đã kiểm tra một số giá trị cụ thể của \(n\), và trong tất cả các trường hợp trên, biểu thức \(P(n)\) không chia hết cho 27.
### Bước 4: Kết luận
Vì không có giá trị nào của \(n\) khiến \(P(n)\) chia hết cho 27 trong các trường hợp đã kiểm tra, ta có thể khẳng định rằng \(2n^4 + 4n^3 + 3n^2 + n + 8\) không chia hết cho 27 đối với mọi số nguyên \(n\).