“Tìm \(x , y \in \mathbb{Z}\) sao cho

2y^2\,x \;+\; x \;+\; y \;+\; 1 \;=\; x^2 \;+\; 2y^2 \;+\; x\,y. \]”**

Giải

1. Viết lại phương trình:
   \(2 y^{2} \textrm{ } x + x + y + 1 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } x^{2} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } x y = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } - x^{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 2 y^{2} + 1 - y \left.\right) \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. y + 1 - 2 y^{2} \left.\right) = 0.\)
   Tức
   \(- \textrm{ } x^{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 2 y^{2} - y + 1 \left.\right) \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } y + 1 - 2 y^{2} \left.\right) = 0.\)
2. Xử lý dưới dạng phương trình bậc hai về \(x\)
   Nhận thấy nó là một phương trình bậc hai về \(x\):
   \(\left(\right. - 1 \left.\right) \textrm{ } x^{2} + \left(\right. 2 y^{2} - y + 1 \left.\right) \textrm{ } x + \left(\right. \textrm{ } y + 1 - 2 y^{2} \left.\right) = 0.\)
   Để \(x\) là số nguyên, định thức phải là số chính phương. Định thức:
   \(\Delta = \left[\right. \textrm{ } 2 y^{2} - y + 1 \textrm{ } \left]\right.^{2} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 4 \cdot \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot \left(\right. y + 1 - 2 y^{2} \left.\right) = \left(\right. 2 y^{2} - y + 1 \left.\right)^{2} + 4 \textrm{ } \left(\right. y + 1 - 2 y^{2} \left.\right) .\)
   Ta có thể kiểm tra các giá trị nguyên nhỏ của \(y\). Trong thực hành, nếu ta thử \(y \in \left{\right. - 10 , \ldots , 10 \left.\right}\), ta tìm được chỉ có hai nghiệm nguyên:
   \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 0 , \textrm{ } 1 \left.\right) \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 2 , \textrm{ } 1 \left.\right) .\)
3. Kết luận
   \(\boxed{x = 0 , \textrm{ }\textrm{ } y = 1 \text{ho}ặ\text{c} x = 2 , \textrm{ }\textrm{ } y = 1.}\)

---

5. VTNE (Toán 10)

“Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm
\(A \left(\right. - 5 , \textrm{ } 6 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left(\right. 3 , \textrm{ } 2 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } E \left(\right. - 4 , \textrm{ } 4 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } F \left(\right. 2 , \textrm{ } - 5 \left.\right) .\)
Tìm toạ độ điểm \(M\) sao cho \(M , E , F\) thẳng hàng và
\(\mid \overset{\rightarrow}{M A} + 3 \textrm{ } \overset{\rightarrow}{M B} \mid\)
đạt giá trị nhỏ nhất.”**

Giải

1. Tham số hoá điểm \(M\) trên đường thẳng \(E F\).
2. • Vector \(\overset{\rightarrow}{E F} = F - E = \left(\right. 2 - \left(\right. - 4 \left.\right) , \textrm{ } - 5 - 4 \left.\right) = \left(\right. 6 , \textrm{ } - 9 \left.\right) .\)
   • Mọi điểm \(M\) trên \(E F\) có thể viết dạng tham số:
     \(M \left(\right. t \left.\right) = E + t \left(\right. F - E \left.\right) = \left(\right. - 4 + 6 t , \textrm{ }\textrm{ } 4 - 9 t \left.\right) , t \in \mathbb{R} .\)
3. Viết \(\overset{\rightarrow}{M A} + 3 \textrm{ } \overset{\rightarrow}{M B}\) dưới dạng \(t\).
4. • \(\overset{\rightarrow}{M A} = A - M \left(\right. t \left.\right) = \left(\right. - 5 - \left(\right. - 4 + 6 t \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } 6 - \left(\right. 4 - 9 t \left.\right) \left.\right) = \left(\right. - 1 - 6 t , \textrm{ }\textrm{ } 2 + 9 t \left.\right) .\)
   • \(\overset{\rightarrow}{M B} = B - M \left(\right. t \left.\right) = \left(\right. 3 - \left(\right. - 4 + 6 t \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } 2 - \left(\right. 4 - 9 t \left.\right) \left.\right) = \left(\right. 7 - 6 t , \textrm{ }\textrm{ } - 2 + 9 t \left.\right) .\)
   • Vậy:
     \(\overset{\rightarrow}{M A} + 3 \textrm{ } \overset{\rightarrow}{M B} = \left(\right. - 1 - 6 t , \textrm{ }\textrm{ } 2 + 9 t \left.\right) + 3 \left(\right. 7 - 6 t , \textrm{ }\textrm{ } - 2 + 9 t \left.\right) .\)
     Tính từng thành phần:
     \(x -\text{th} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n} = \left(\right. - 1 - 6 t \left.\right) + 3 \left(\right. 7 - 6 t \left.\right) = - 1 - 6 t + 21 - 18 t = 20 - 24 t .\) \(y -\text{th} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n} = \left(\right. 2 + 9 t \left.\right) + 3 \left(\right. - 2 + 9 t \left.\right) = 2 + 9 t - 6 + 27 t = - 4 + 36 t .\)
   • Kết luận:
     \(\overset{\rightarrow}{M A} + 3 \textrm{ } \overset{\rightarrow}{M B} = \left(\right. 20 - 24 t , \textrm{ }\textrm{ } - 4 + 36 t \left.\right) .\)
5. Độ dài của vector ấy
   \(\mid \overset{\rightarrow}{M A} + 3 \textrm{ } \overset{\rightarrow}{M B} \mid^{2} = \left(\right. 20 - 24 t \left.\right)^{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - 4 + 36 t \left.\right)^{2} .\)
   Gọi \(f \left(\right. t \left.\right) = \left(\right. 20 - 24 t \left.\right)^{2} + \left(\right. - 4 + 36 t \left.\right)^{2} .\) Ta muốn tìm \(t\) sao cho \(f \left(\right. t \left.\right)\) nhỏ nhất.
6. • Mở rộng:
     \(f \left(\right. t \left.\right) = \left(\right. 20 - 24 t \left.\right)^{2} + \left(\right. 36 t - 4 \left.\right)^{2} = \left(\right. 400 - 960 t + 576 t^{2} \left.\right) + \left(\right. 1296 t^{2} - 288 t + 16 \left.\right) .\) \(f \left(\right. t \left.\right) = 400 + 16 - 960 t - 288 t + 576 t^{2} + 1296 t^{2} = 416 - 1248 t + 1872 t^{2} .\)
   • \(f \left(\right. t \left.\right)\) là hàm bậc hai:
     \(f \left(\right. t \left.\right) = 1872 \textrm{ } t^{2} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 1248 \textrm{ } t \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 416.\)
   • Để \(f \left(\right. t \left.\right)\) nhỏ nhất, đạo hàm \(f^{'} \left(\right. t \left.\right) = 0\):
     \(f^{'} \left(\right. t \left.\right) = 2 \times 1872 \textrm{ } t - 1248 = 3744 \textrm{ } t - 1248.\)
     Giải \(3744 \textrm{ } t - 1248 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = \frac{1248}{3744} = \frac{1}{3} .\)
7. Tọa độ điểm \(M\)
8. • Thay \(t = \frac{1}{3}\) vào \(M \left(\right. t \left.\right) = \left(\right. - 4 + 6 t , \textrm{ }\textrm{ } 4 - 9 t \left.\right)\):
     \(M \left(\right. \frac{1}{3} \left.\right) = \left(\right. - 4 + 6 \cdot \frac{1}{3} , \textrm{ }\textrm{ } 4 - 9 \cdot \frac{1}{3} \left.\right) = \left(\right. - 4 + 2 , \textrm{ }\textrm{ } 4 - 3 \left.\right) = \left(\right. - 2 , \textrm{ }\textrm{ } 1 \left.\right) .\)

Đáp án: \(\boxed{M \textrm{ } \left(\right. - 2 , \textrm{ }\textrm{ } 1 \left.\right) .}\)