Giải

1. Đặt tổng vô hạn
   \(S_{\infty} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k - 1}{3^{2 k}} .\)
   Khi đó \(A\) là tổng hữu hạn 50 số hạng đầu, nên rõ ràng \(A < S_{\infty}\).
2. Tính \(S_{\infty}\). Gọi \(x = \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9}\). Khi đó mỗi số hạng của \(S_{\infty}\) là \(\left(\right. 2 k - 1 \left.\right) x^{k}\).
3. • Biết rằng
     \(\sum_{k = 1}^{\infty} k \textrm{ } x^{k} = \frac{x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} , \sum_{k = 1}^{\infty} x^{k} = \frac{x}{1 - x} .\)
   • Ta có
     \(\sum_{k = 1}^{\infty} \left(\right. 2 k - 1 \left.\right) \textrm{ } x^{k} = 2 \sum_{k = 1}^{\infty} k \textrm{ } x^{k} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \sum_{k = 1}^{\infty} x^{k} = 2 \cdot \frac{x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \frac{x}{1 - x} = \frac{2 x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} - \frac{x}{1 - x} .\)
   • Viết chung mẫu:
     \(\frac{2 x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} = \frac{2 x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} , \frac{x}{1 - x} = \frac{x \left(\right. 1 - x \left.\right)}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} = \frac{x - x^{2}}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} .\)
     Suy ra
     \(\sum_{k = 1}^{\infty} \left(\right. 2 k - 1 \left.\right) \textrm{ } x^{k} = \frac{2 x - \left(\right. x - x^{2} \left.\right)}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} = \frac{2 x - x + x^{2}}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} = \frac{x + x^{2}}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} .\)
   • Thay \(x = \frac{1}{9}\):
     \(S_{\infty} = \frac{\frac{1}{9} + \frac{1}{81}}{\left(\right. 1 - \frac{1}{9} \left.\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{9} + \frac{1}{81}}{\left(\right. \frac{8}{9} \left.\right)^{2}} = \frac{\frac{9 + 1}{81}}{\frac{64}{81}} = \frac{\frac{10}{81}}{\frac{64}{81}} = \frac{10}{64} = \frac{5}{32} .\)
4. Vì \(A\) chỉ là tổng 50 số hạng đầu của \(S_{\infty}\), nên
   \(A < S_{\infty} = \frac{5}{32} .\)

Vậy đã chứng minh \(A < \frac{5}{32} .\)