Bài 2:

a: \(A=\frac17+\frac{1}{7^2}+\cdots+\frac{1}{7^{100}}\)

=>\(7A=1+\frac17+\cdots+\frac{1}{7^{99}}\)

=>\(7A-A=1+\frac17+\cdots+\frac{1}{7^{99}}-\frac17-\frac{1}{7^2}-\cdots-\frac{1}{7^{100}}\)

=>\(6A=1-\frac{1}{7^{100}}=\frac{7^{100}-1}{7^{100}}\)

=>\(A=\frac{7^{100}-1}{6\cdot7^{100}}\)

b: \(B=\frac53+\frac{5}{3^2}+\frac{5}{3^3}+\cdots+\frac{5}{3^{20}}\)

=>\(3B=5+\frac53+\frac{5}{3^2}+\cdots+\frac{5}{3^{19}}\)

=>\(3B-B=5+\frac53+\frac{5}{3^2}+\cdots+\frac{5}{3^{19}}-\frac53-\frac{5}{3^2}-\cdots-\frac{5}{3^{20}}\)

=>\(2B=5-\frac{5}{3^{20}}=\frac{5\cdot3^{20}-5}{3^{20}}\)

=>\(B=\frac{5\cdot3^{20}-5}{2\cdot3^{20}}\)

c: \(C=-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}-\cdots+\frac{1}{3^{50}}\)

=>\(3C=-1+\frac13-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}-\cdots+\frac{1}{3^{49}}\)

=>\(3C+C=-1+\frac13-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}-\cdots+\frac{1}{3^{49}}-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}-\cdots+\frac{1}{3^{50}}\)

=>\(4C=-1+\frac{1}{3^{50}}=\frac{-3^{50}+1}{3^{50}}\)

=>\(C=\frac{-3^{50}+1}{4\cdot3^{50}}\)

d: \(D=\left(-\frac17\right)^0+\left(-\frac17\right)^1+\left(-\frac17\right)^2+\cdots+\left(-\frac17\right)^{2017}\)

=>\(D=1-\frac17+\frac{1}{7^2}-\frac{1}{7^3}+\cdots-\frac{1}{7^{2017}}\)

=>\(7D=7-1+\frac17-\frac{1}{7^2}+\cdots-\frac{1}{7^{2016}}\)

=>\(7D+D=7-1+\frac17-\frac{1}{7^2}+\cdots-\frac{1}{7^{2016}}+1-\frac17+\frac{1}{7^2}-\frac{1}{7^3}+\cdots-\frac{1}{7^{2017}}\)

=>\(8D=7-\frac{1}{7^{2017}}=\frac{7^{2018}-1}{7^{2017}}\)

=>\(D=\frac{7^{2018}-1}{8\cdot7^{2017}}\)

e: \(E=\frac12+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^5}+\cdots+\frac{1}{2^{99}}\)

=>\(4E=2+\frac12+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{97}}\)

=>\(4E-E=2+\frac12+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{97}}-\frac12-\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^5}-\cdots-\frac{1}{2^{99}}\)

=>\(3E=2-\frac{1}{2^{99}}=\frac{2^{100}-1}{2^{99}}\)

=>\(E=\frac{2^{100}-1}{3\cdot2^{99}}\)

Bài 1:

a: \(A=2\cdot4+4\cdot6+6\cdot8+\cdots+98\cdot100\)

\(=4\left(1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+49\cdot50\right)\)

\(=4\left\lbrack1\left(1+1\right)+2\left(2+1\right)+3\left(3+1\right)+\cdots+49\left(49+1\right)\right\rbrack\)

\(=4\left\lbrack\left(1^2+2^2+\cdots+49^2\right)+\left(1+2+3+\cdots+49\right)\right\rbrack\)

\(=4\cdot\left\lbrack\frac{49\left(49+1\right)\left(2\cdot49+1\right)}{6}+\frac{49\cdot50}{2}\right\rbrack=4\cdot\left\lbrack\frac{49\cdot50\cdot99}{6}+49\cdot25\right\rbrack\)

\(=4\cdot\left\lbrack49\cdot25\cdot33+49\cdot25\right\rbrack=4\cdot49\cdot25\cdot34=100\cdot49\cdot34\)

=166600

b: \(B=1\cdot99+2\cdot98+\cdots+97\cdot3+98\cdot2+99\cdot1\)

\(=2\cdot\left(1\cdot99+2\cdot98+\cdots+48\cdot52+49\cdot51\right)+50^2\)

\(=2\cdot\left\lbrack1\left(100-1\right)+2\left(100-2\right)+\cdots+48\left(100-48\right)+49\left(100-49\right)\right\rbrack+50^2\)

\(=2\left\lbrack100\left(1+2+\cdots+49\right)-\left(1^2+2^2+\cdots+49^2\right)\right\rbrack\) +2500

\(=2\cdot\left\lbrack100\cdot\frac{49\cdot50}{2}-\frac{49\cdot\left(49+1\right)\left(2\cdot49+1\right)}{6}\right\rbrack+2500\)

\(=2\cdot\left\lbrack100\cdot49\cdot25-\frac{49\cdot50\cdot99}{6}\right\rbrack+2500\)

\(=2\cdot\left\lbrack100\cdot49\cdot25-49\cdot25\cdot33\right\rbrack+2500=2\cdot25\cdot49\left(100-33\right)+2500\)

\(=50\cdot49\cdot67+2500=166650\)

d: \(D=2^2+4^2+\cdots+98^2+100^2\)

\(=2^2\left(1^2+2^2+\cdots+49^2+50^2\right)\)

\(=4\cdot\frac{50\cdot\left(50+1\right)\left(2\cdot50+1\right)}{6}=4\cdot\frac{50\cdot51\cdot101}{6}\)

\(=4\cdot25\cdot17\cdot101=100\cdot17\cdot101=171700\)

e: \(E=1^2+3^2+5^2+\cdots+99^2\)
\(=\left(1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+99^2+100^2\right)-\left(2^2+4^2+\cdots+100^2\right)\)

\(=\frac{100\left(100+1\right)\left(2\cdot100+1\right)}{6}-2^2\left(1^2+2^2+\cdots+50^2\right)\)

\(=\frac{100\cdot101\cdot201}{6}-4\cdot\frac{50\left(50+1\right)\left(2\cdot50+1\right)}{6}\)

\(=50\cdot101\cdot67-4\cdot\frac{50\cdot51\cdot101}{6}\)

\(=50\cdot101\cdot67-4\cdot25\cdot17\cdot101=101\cdot50\left(67-2\cdot17\right)\)

\(=50\cdot101\cdot33=166650\)

f: \(F=1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+99^2-100^2\)

\(=\left(1-2\right)\left(1+2\right)+\left(3-4\right)\left(3+4\right)+\cdots+\left(99-100\right)\left(99+100\right)\)

=-(1+2+3+4+...+99+100)

\(=-100\cdot\frac{101}{2}=-50\cdot101=-5050\)

Bài 8:

Chu vi đáy là:

3,5+3,5+3+6=7+9=16(cm)

Diện tích xung quanh là: \(16\cdot11,5=184\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Bài 9:

Diện tích đáy là:

\(S=\frac12\cdot7\cdot24=12\cdot7=84\left(m^2\right)\)

Thể tích của khối bê tông là:

\(84\cdot22=1848\left(m^3\right)\)

Số tiền phải trả là:

\(1848\cdot2500000=4620000000\) (đồng)

Bài 2:

a: Xét ΔMAB và ΔMCD có

MA=MC

\(\hat{AMB}=\hat{CMD}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MD

Do đó: ΔMAB=ΔMCD

=>AB=CD

ΔMAB=ΔMCD

=>\(\hat{MAB}=\hat{MCD}\)

=>\(\hat{MCD}=90^0\)

=>CD⊥CA

b: Xét ΔDCB có CB+CD>BD

mà CD=AB

nên CB+AB>BD

=>BA+BC>2BM

c: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>BC là cạnh huyền

=>BC là cạnh lớn nhất trong ΔABC

=>BC>AB

mà AB=CD

nên BC>CD

Xét ΔCBD có CB>CD
ma \(\hat{CDB};\hat{CBD}\) lần lượt là góc đối diện của các cạnh CB,CD

nên \(\hat{CDB}>\hat{CBD}\)

mà \(\hat{CDB}=\hat{ABD}\) (ΔMAB=ΔMCD)

nên \(\hat{ABD}>\hat{CBD}\)

Bài 3:

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔADC vuông tại D có

AB=AC

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB=ΔADC

=>AE=AD

=>ΔAED cân tại A

b: Xét ΔADH vuông tại D và ΔAEH vuông tại E có

AH chung

AD=AE

Do đó: ΔADH=ΔAEH

=>\(\hat{DAH}=\hat{EAH}\)

=>AH là phân giác của góc DAE

c: Xét ΔABC có \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)

nên DE//BC

d: Ta có: ΔADH=ΔAEH

=>HD=HE

ΔABE=ΔACD

=>BE=CD

Ta có: BE=BH+HE

CD+CH+HD

ma BE=CD va HE=HD

nên HB=HC

=>H nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,H,M thẳng hàng

Ta có: tia CD nằm giữa hai tia CF và CB

=>\(\hat{BCF}=\hat{BCD}+\hat{FCD}=20^0+50^0=70^0\)

Ta có: \(\hat{BCF}=\hat{ABC}\left(=70^0\right)\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CF
Ta có: \(\hat{EDC}+\hat{DCF}=130^0+50^0=180^0\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí trong cùng phía

nên ED//CF

Ta có: AB//CF

ED//CF

Do đó: AB//DE

cảm ơn !

Bài 7.

Số học sinh lớp 6A là:

120 x 35 : 100 = 42 (học sinh)

Số học sinh lớp 6C là:

120 x 3/10 = 36 (học sinh)

Số học sinh lớp 6B là:

120 - 42 - 36 = 42 (học sinh)

Đáp số: 42 học sinh

Bài 8.

Số học sinh trung bình là:

1200 x 5/8 = 750 (học sinh)

Số học sinh khá là:

1200 x 1/3 = 400 (học sinh)

Số học sinh giỏi là:

1200 - 750 - 400 = 50 (học sinh)

Đáp số: 50 học sinh

Bài 9.

a) Số học sinh giỏi là:

40 x 1/5 = 8 (học sinh)

Số học sinh trung bình là:

40 x 3/8 = 15 (học sinh)

Số học sinh khá là:

40 - 8 - 15 = 17 (học sinh)

b) Tỉ số phần trăm số học sinh Khá so với cả lớp là:

17 : 40 x 100 = 42,5%

Đáp số: ...