Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
nếu các giá trị a1; ..., a2013 không bằng nhau thì GTLN của vế trái sẽ là khi a1 = 1; a2 = 2; ..., a2013 = 2013.
giờ chỉ cần chứng minh \(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2013}< 1007\) . (cái này bạn có thể tự chứng minh).
khi đó VT luôn nhỏ hơn VP nên phải có các giá trị a bằng nhau.
Chúc bạn thành công!
Giả sử rằng trong 44 số đã cho, không có hai số nào bằng nhau . Vai trò các số này bình đẳng nên ta giả sử \(a_1< a_2< ...< a_{44}\). Vì a1 , a2 ,..., a44 là các số nguyên dương nên ta có thể gọi \(a_1\ge2\), \(a_2\ge3\).... , \(a_{44}\ge45\)(Dễ thấy \(a_1=1\)thì không tồn tại các giá trị \(a_j\) \(\left(j=2,3,...,44\right)\)thỏa mãn đề bài)
Khi đó : \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}\le\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{45^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{44.45}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{44}-\frac{1}{45}=1-\frac{1}{45}< 1\)
Như vậy đẳng thức không xảy ra (vô lí) => điều giả sử sai.
Vậy trong 44 số đã cho tồn tại 2 số bằng nhau. (đpcm)
Tham khảo cách làm và đề sau:
Cho 2015 số nguyên dương a1;a2;...;a2016 thỏa mãn
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+....+\frac{1}{a_{2016}}=300\)
CMR:tồn tại ít nhất 2 số đã cho bằng nhau.
Giải
Giả sử trong 2016 sô đã cho ko có 2 số nào bằng nhau,ko mất tính tổng quát giả sử a1<a2<....<a2016
Vì a1,a2,....,a2016 đều là số nguyên dương nên ta suy ra \(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{2016}\ge2016\)
Suy ra \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2016}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}\)
\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+...+\left(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1025}+....+\frac{1}{2016}\right)\)
\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{2^2}\cdot2^2+...+\frac{1}{2^{10}}\cdot2^{10}=11< 30\)
Mâu thuẫn vs gt ->Giả sử sai
=>Trong 2016 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau
Giả sử trong 2019 số trên không có 2 số nào nào bằng nhau
Không mất tính tổng quát : g/s : \(a_{2019}>...>a_2>a_1\ge1\)
=> \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{2019}^2}\le\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2019^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2018.2019}\)
\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}=2-\frac{1}{2019}< 2\)Vô lí với giả thiết
Vậy điều giả sử là sai
Vậy trong 2019 số tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau
Ta thấy : \(a_1+a_2+a_3+.....+a_{2015}+a_1=1008.1=1008\)
Mà \(a_1+a_2+a_3+......+a_{2015}=0\)
\(\Rightarrow a_1+\left(a_1+a_2+a_3+....+a_{2015}\right)=1008\Leftrightarrow a_1+0=1008\) \(\Rightarrow a_1=1008\)
Để chứng minh rằng ít nhất hai số trong dãy \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{100}\) phải bằng nhau, ta có thể sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chia nước).
Đầu tiên, ta được biết rằng tổng:
\[
\frac{1}{a_1^2} + \frac{1}{a_2^2} + \frac{1}{a_3^2} + \ldots + \frac{1}{a_{100}^2} = 199
\]
Tiếp theo, nhận thấy rằng các số \(a_i\) là số tự nhiên, tức là \(a_i \geq 1\) với \(i = 1, 2, \ldots, 100\).
Xét các giá trị của \(\frac{1}{n^2}\) cho các số tự nhiên \(n\):
- Khi \(n=1\): \(\frac{1}{1^2} = 1\)
- Khi \(n=2\): \(\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)
- Khi \(n=3\): \(\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\)
- Khi \(n=4\): \(\frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\)
- ...
Nhận thấy rằng giá trị này giảm dần khi \(n\) tăng lên.
Giả sử rằng tất cả các số \(a_i\) là khác nhau và lấy giá trị nhỏ nhất cho chúng, thì các giá trị của \(\frac{1}{a_i^2}\) sẽ là:
\[
\frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{3^2}, \ldots, \frac{1}{100^2}
\]
Tính tổng:
\[
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{100^2}
\]
sẽ lớn hơn một giá trị nhất định, gọi là \(S\).
Vì \(S\) sẽ phải nhỏ hơn 100, do tất cả \(\frac{1}{n^2}\) đều olum và giảm dần. Tuy nhiên, để đảm bảo rằng
\[
\frac{1}{a_1^2} + ... + \frac{1}{a_{100}^2} \geq S
\]
Trong trường hợp này, tổng không thể đạt đến 199 nếu tất cả các \(a_i\) đều khác nhau, điều đó mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.
Suy ra, ít nhất sẽ có hai số trong số \(a_1, a_2, \ldots, a_{100}\) phải bằng nhau.
Vậy, ta đã chứng minh rằng ít nhất hai trong các số này là bằng nhau.