Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho phương trình \(x^2+2mx-2m+1=0\)
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)cùng lớn hơn -5
\(x^2+2mx-2m+1=0\) (1)
pt (1) có 2 nghiệm x1, x2 cùng lớn hơn -5 \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\Delta'\ge0\\x_1+5>0\\x_2+5>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2+2m-1\ge0\left(2\right)\\\left(x_1+5\right)+\left(x_2+5\right)>0\left(3\right)\\\left(x_1+5\right)\left(x_2+5\right)>0\left(4\right)\end{cases}}}\)
(2) \(\Leftrightarrow\)\(\left(m+1\right)^2\ge2\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}m\ge\sqrt{2}-1\\m\le-\sqrt{2}-1\end{cases}}\)
Theo Vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=1-2m\end{cases}}\)
(3) \(\Leftrightarrow\)\(-2m+10>0\)\(\Leftrightarrow\)\(m< 5\)
(4) \(\Leftrightarrow\)\(1-2m-10m+25>0\)\(\Leftrightarrow\)\(m< \frac{13}{6}\)
Kết hợp các ĐK của m ta suy ra \(\orbr{\begin{cases}m\ge\sqrt{2}-1\\m\le-\sqrt{2}-1\end{cases}}\) hay \(m\ne k\) với \(k\in A\) và \(A=\left(-\sqrt{2}-1;\sqrt{2}-1\right)\)
...
Đặt \(x^2=t\ge0\) pt trở thành: \(t^2+\left(1-2m\right)t+m^2-1=0\) (1)
\(\Delta=\left(1-2m\right)^2-4\left(m^2-1\right)=-4m+5\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=2m-1\\t_1t_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)
Từ \(x^2=t\) (2) ta có nhận xét: nếu \(t< 0\) thì (2) vô nghiệm, nếu \(t=0\) thì (2) có đúng 1 nghiệm \(x=0\), nếu \(t>0\) thì (2) có 2 nghiệm phân biệt \(x=\pm\sqrt{t}\)
Do đó:
a.
Phương trình đã cho vô nghiệm khi: (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều âm
TH1: (1) vô nghiệm \(\Rightarrow-4m+5< 0\Rightarrow m>\dfrac{5}{4}\)
TH2: (1) có 2 nghiệm đều âm \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4m+5\ge0\\t_1+t_2=2m-1< 0\\t_1t_2=m^2-1>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\dfrac{5}{4}\\m< \dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -1\)
Kết hợp lại ta được: \(\left[{}\begin{matrix}m>\dfrac{5}{4}\\m< -1\end{matrix}\right.\)
b.
Pt có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có đúng 2 nghiệm trái dấu (khi đó nghiệm dương của t sẽ cho 2 nghiệm x và nghiệm âm ko cho nghiệm x nào)
\(\Rightarrow t_1t_2=m^2-1< 0\Rightarrow-1< m< 1\)
c.
Pt có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4m+5>0\\t_1+t_2=2m-1>0\\t_1t_2=m^2-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{5}{4}\\m>\dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=1\)
d.
Pt có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm dương pb
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4m+5>0\\t_1+t_2=2m-1>0\\t_1t_2=m^2-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{5}{4}\\m>\dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1< m< \dfrac{5}{4}\)
A) delta=(4m-2)^2-4×4m^2
=16m^2-8m+4-16m^2
=-8m+4
để pt có hai nghiệm pb thì -8m+4>0
Hay m<1/2
B để ptvn thì -8m+4<0
hay m>1/2
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta'=\left(-m\right)^2-\left(2m-1\right)=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2>0\)
\(\Rightarrow\)\(m\ne1\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{m-\sqrt{\left(m-1\right)^2}}{2m-1}=\frac{m-\left|m-1\right|}{2m-1}\\x_2=\frac{m+\sqrt{\left(m-1\right)^2}}{2m-1}=\frac{m+\left|m-1\right|}{2m-1}\end{cases}}\)
Với \(m>1\) thì \(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{m-m+1}{2m-1}=\frac{1}{2m-1}\\x_2=\frac{m+m-1}{2m-1}=1\end{cases}}\) (1)
Với \(m< 1\) thì \(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{m-\left(1-m\right)}{2m-1}=1\\x_2=\frac{m+\left(1-m\right)}{2m-1}=\frac{1}{2m-1}\end{cases}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta thấy với mọi giá trị m thì pt có ít nhất một nghiệm không thoả mãn điều cần chứng minh, hay pt không có nghiệm thuộc (-1;0)
Ptr có nghiệm `<=>\Delta' >= 0`
`<=>(-m)^2-(-m) >= 0`
`<=>m(m+1) >= 0`
`<=>` $\left[\begin{matrix} m \le -1\\ m \ge 0\end{matrix}\right.$
`=>` Áp dụng Viét có:`{(x_1+x_2=[-b]/a=2m),(x_1.x_2=c/a=-m):}`
Ta có:`x_1 ^2+2mx_2+19(m+1)=0`
`<=>x_1 ^2+(x_1+x_2)x_2+19(m+1)=0`
`<=>x_1 ^2+x_1.x_2+x_2 ^2+19(m+1)=0`
`<=>(x_1+x_2)^2-x_1.x_2+19(m+1)=0`
`<=>(2m)^2-(-m)+19m+19=0`
`<=>4m^2+10m+19=0`
Ptr có:`\Delta'=5^2-4.19=-51 < 0`
`=>` Ptr vô nghiệm
Vậy ko có gtr `m` t/m yêu cầu đề bài
a, Th1 : \(m-1=0\Rightarrow m=1\)
\(\Rightarrow-x+3=0\\ \Rightarrow x=3\)
Th2 : \(m\ne1\)
\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.\left(m-1\right).3\\ =1-12m+12\\=13-12m \)
phương trình có nghiệm \(\Delta\ge0\)
\(\Rightarrow13-12m\ge0\\ \Rightarrow m\le\dfrac{13}{12}\)
b, Áp dụng hệ thức vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{1}{m-1}\\x_1x_1=\dfrac{3}{m-1}\end{matrix}\right.\)
Tổng bình phương hai nghiệm bằng 12 \(\Rightarrow x^2_1+x^2_2=12\)
\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=12\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{m-1}\right)^2-2.\left(\dfrac{3}{m-1}\right)=12\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2}-\dfrac{6}{m-1}=12\\ \Leftrightarrow1-6\left(m-1\right)=12\left(m-1\right)^2\\ \Leftrightarrow1-6m+6=12\left(m^2-2m+1\right)\\ \Leftrightarrow7-6m-12m^2+24m-12=0\\ \Leftrightarrow-12m^2+18m-5=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{9-\sqrt{21}}{12}\\m=\dfrac{9+\sqrt{21}}{12}\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{9+\sqrt{21}}{12}\)
Để xác định giá trị của \(m\) sao cho phương trình
\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) x^{2} - 2 m x + 1 = 0\)có nghiệm thuộc khoảng \(\left(\right. - 1 , 0 \left.\right)\), ta làm như sau:
Bước 1: Điều kiện để phương trình có nghiệm
Phương trình bậc hai có dạng:
\(a x^{2} + b x + c = 0\)với
\(a = 2 m - 1 , b = - 2 m , c = 1\)Điều kiện để phương trình có nghiệm thực:
\(\Delta = b^{2} - 4 a c \geq 0\)Tính \(\Delta\):
\(\Delta = \left(\right. - 2 m \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \left(\right. 1 \left.\right) = 4 m^{2} - 4 \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) = 4 m^{2} - 8 m + 4 = 4 \left(\right. m^{2} - 2 m + 1 \left.\right) = 4 \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} \geq 0\)Vậy phương trình luôn có nghiệm thực (vì \(\Delta \geq 0\) với mọi \(m\)).
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình
Nghiệm của phương trình là:
\(x = \frac{- b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a} = \frac{2 m \pm 2 \mid m - 1 \mid}{2 \left(\right. 2 m - 1 \left.\right)} = \frac{m \pm \mid m - 1 \mid}{2 m - 1}\)Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(m - 1 \geq 0 \Rightarrow m \geq 1\)
Khi đó:
\(x_{1} = \frac{m - \left(\right. m - 1 \left.\right)}{2 m - 1} = \frac{1}{2 m - 1} , x_{2} = \frac{m + \left(\right. m - 1 \left.\right)}{2 m - 1} = \frac{2 m - 1}{2 m - 1} = 1\)Trường hợp 2: \(m - 1 < 0 \Rightarrow m < 1\)
Khi đó:
\(x_{1} = \frac{m - \left(\right. 1 - m \left.\right)}{2 m - 1} = \frac{2 m - 1}{2 m - 1} = 1 , x_{2} = \frac{m + \left(\right. 1 - m \left.\right)}{2 m - 1} = \frac{1}{2 m - 1}\)Bước 3: Xác định nghiệm thuộc khoảng \(\left(\right. - 1 , 0 \left.\right)\)
Ta thấy một nghiệm luôn bằng 1, nghiệm còn lại là \(\frac{1}{2 m - 1}\).
Vậy ta cần:
\(- 1 < \frac{1}{2 m - 1} < 0\)Giải bất đẳng thức:
Xét hai trường hợp:
- Nếu \(2 m - 1 > 0\) thì \(\frac{1}{2 m - 1} > - 1\) luôn đúng vì \(\frac{1}{\text{d}ưo\text{ng}} > - 1\).
- Nếu \(2 m - 1 < 0\) (tức \(m < \frac{1}{2}\)), nhân hai vế với \(2 m - 1 < 0\) đổi chiều bất đẳng thức:
\(1 > - 1 \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \Rightarrow 1 > - 2 m + 1 \Rightarrow 0 > - 2 m \Rightarrow m > 0\)Kết luận:
Từ các điều kiện trên, ta có:
\(0 < m < \frac{1}{2}\)Đáp án:
\(\boxed{0 < m < \frac{1}{2}}\)Khi đó, phương trình có một nghiệm thuộc khoảng \(\left(\right. - 1 , 0 \left.\right)\). Nếu cần mình có thể hướng dẫn thêm cách kiểm tra hoặc vẽ đồ thị để trực quan hơn nhé!