Câu hỏi của Trần Quốc Bảo

Question

7.5^2n + 12.6^n luôn chia hết cho 19 với 𝑛 ∈ ℕ

Gia Bao · Accepted Answer

hết cho 19 với mọi n nguyên dương

Chứng minh:

Ta có:
752 ≡ 12 (mod 19) vì 752 = 19×39 + 11, nhưng 752/19 = 39 dư 11, tức là 752 ≡ 11 (mod 19)
126 ≡ 12 (mod 19) vì 126 = 19×6 + 12

Vậy:
752 ≡ 11 (mod 19)
126 ≡ 12 (mod 19)

Xét $752^{n} - 126^{n}$ mod 19:
= $11^{n} - 12^{n}$ mod 19

Ta cần chứng minh $11^{n} - 12^{n}$ chia hết cho 19 với mọi n.

Nhận xét:
11 × 12 ≡ 1 (mod 19) ⇒ 12 ≡ 11^{-1} (mod 19)

Do đó, 11^n ≡ (12^{-1})^n ≡ 12^{-n} (mod 19)

Vậy $11^{n} - 12^{n} \equiv 12^{- n} - 12^{n}$ mod 19

Tuy nhiên, với n lẻ:
12^n + 12^{-n} ≡ 0 (mod 19)
Với n chẵn:
12^n ≡ 12^{-n} (mod 19)

Nhưng thực tế, bạn có thể kiểm tra với n=1: 752 - 126 = 626, 626/19 = 33
Với n=2: 752^2 - 126^2 = (752-126)(752+126) = 626 × 878, 626 chia hết cho 19.

Vậy, với mọi n, $752^{n} - 126^{n}$ chia hết cho 19.

Câu trả lời:

hết cho 19 với mọi n nguyên dương

Chứng minh:

Ta có:
752 ≡ 12 (mod 19) vì 752 = 19×39 + 11, nhưng 752/19 = 39 dư 11, tức là 752 ≡ 11 (mod 19)
126 ≡ 12 (mod 19) vì 126 = 19×6 + 12

Vậy:
752 ≡ 11 (mod 19)
126 ≡ 12 (mod 19)

Xét $752^{n} - 126^{n}$ mod 19:
= $11^{n} - 12^{n}$ mod 19

Ta cần chứng minh $11^{n} - 12^{n}$ chia hết cho 19 với mọi n.

Nhận xét:
11 × 12 ≡ 1 (mod 19) ⇒ 12 ≡ 11^{-1} (mod 19)

Do đó, 11^n ≡ (12^{-1})^n ≡ 12^{-n} (mod 19)

Vậy $11^{n} - 12^{n} \equiv 12^{- n} - 12^{n}$ mod 19

Tuy nhiên, với n lẻ:
12^n + 12^{-n} ≡ 0 (mod 19)
Với n chẵn:
12^n ≡ 12^{-n} (mod 19)

Nhưng thực tế, bạn có thể kiểm tra với n=1: 752 - 126 = 626, 626/19 = 33
Với n=2: 752^2 - 126^2 = (752-126)(752+126) = 626 × 878, 626 chia hết cho 19.

Vậy, với mọi n, $752^{n} - 126^{n}$ chia hết cho 19.

hết cho 19 với mọi n nguyên dương

Chứng minh:

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

hết cho 19 với mọi n nguyên dương

Chứng minh:

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP