Câu hỏi của Quang Anh Mạnh Cường

Question

Đố vui lớp 9 hình học, mức độ dễ thui

1)Cho ΔABC nhọn với 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF. (gợi ý: sử dụng các tg nội tiếp...

Nguyễn Việt Hoàn · Accepted Answer

Tuyệt vời! Đây là ba câu đố hình học lớp 9 mà bạn đưa ra, cùng với lời giải chi tiết:

Câu 1: Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF

Phân tích:
- Ta cần chứng minh H là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác DEF.
- Sử dụng các tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau.
Lời giải:
- Tứ giác BCEF nội tiếp, suy ra ∠AFE = ∠ACB.
- Tứ giác CDHB nội tiếp, suy ra ∠DBH = ∠DCH.
- Mà ∠ACB = ∠DCH (cùng phụ ∠BAC), suy ra ∠AFE = ∠DBH.
- Tương tự, chứng minh được ∠BFD = ∠CDH.
- Suy ra ∠AFE = ∠BFD, hay FH là phân giác ∠DFE.
- Chứng minh tương tự, ta có EH, DH là phân giác các góc còn lại.
- Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF.

Câu 2: Chứng minh BC² = AB.AC + AC²

Phân tích:
- Kẻ đường phân giác góc A để tạo ra các tam giác đồng dạng.
- Sử dụng tính chất tỉ số phân giác và tỉ số đồng dạng để chứng minh.
Lời giải:
- Kẻ phân giác AD của góc BAC (D thuộc BC).
- Theo đề bài, ∠BAC = 2∠B, mà ∠BAC = ∠BAD + ∠DAC, suy ra ∠BAD = ∠DAC = ∠B.
- Xét ΔABD và ΔACB, có ∠B chung, ∠BAD = ∠ACB, suy ra ΔABD ∼ ΔACB (g.g).
- Suy ra AB/AC = BD/BC = AD/AB, hay AB² = AC.AD.
- Xét ΔACD và ΔABC, có ∠C chung, ∠DAC = ∠ABC, suy ra ΔACD ∼ ΔABC (g.g).
- Suy ra AC/BC = CD/AC = AD/AB, hay AC² = BC.CD.
- Theo tính chất đường phân giác, BD/CD = AB/AC, suy ra BD = (AB.CD)/AC.
- Mà BC = BD + CD, suy ra BC = (AB.CD)/AC + CD = CD(AB + AC)/AC.
- Suy ra BC.AC = CD(AB + AC), hay CD = (BC.AC)/(AB + AC).
- Thay CD vào AC² = BC.CD, ta có AC² = BC.(BC.AC)/(AB + AC).
- Suy ra AC²(AB + AC) = BC².AC, hay AC(AB + AC) = BC².
- Vậy BC² = AB.AC + AC².

Câu 3: Chứng minh BH = CD

Phân tích:
- Sử dụng tính chất đường kính và dây cung vuông góc.
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng để suy ra tỉ lệ các cạnh.
Lời giải:
- AK là đường kính, suy ra ∠ABK = ∠ACK = 90°.
- KD ⊥ BC, AH ⊥ BC, suy ra KD // AH.
- Xét ΔABH và ΔACK, có ∠ABH = ∠ACK = 90°, ∠BAH = ∠CAK (cùng phụ ∠ACB), suy ra ΔABH ∼ ΔACK (g.g).
- Suy ra BH/CK = AB/AC.
- Xét tam giác vuông ACK, có KD // AH, suy ra KD vuông góc với BC, và CK = CD.
- Xét ΔABK và ΔADC, có ∠ABK = ∠ADC = 90°, ∠BAK = ∠DAC (cùng phụ ∠ACB), suy ra ΔABK ∼ ΔADC (g.g).
- Suy ra AB/AC = BK/DC.
- Từ BH/CK = AB/AC và AB/AC = BK/DC, suy ra BH/CK = BK/DC.
- Mà CK = DC, suy ra BH = BK.
- Vậy BH = CD.

Hy vọng những lời giải này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các bài toán hình học này!

Câu trả lời:

Tuyệt vời! Đây là ba câu đố hình học lớp 9 mà bạn đưa ra, cùng với lời giải chi tiết:

Câu 1: Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF

Phân tích:
- Ta cần chứng minh H là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác DEF.
- Sử dụng các tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau.
Lời giải:
- Tứ giác BCEF nội tiếp, suy ra ∠AFE = ∠ACB.
- Tứ giác CDHB nội tiếp, suy ra ∠DBH = ∠DCH.
- Mà ∠ACB = ∠DCH (cùng phụ ∠BAC), suy ra ∠AFE = ∠DBH.
- Tương tự, chứng minh được ∠BFD = ∠CDH.
- Suy ra ∠AFE = ∠BFD, hay FH là phân giác ∠DFE.
- Chứng minh tương tự, ta có EH, DH là phân giác các góc còn lại.
- Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF.

Câu 2: Chứng minh BC² = AB.AC + AC²

Phân tích:
- Kẻ đường phân giác góc A để tạo ra các tam giác đồng dạng.
- Sử dụng tính chất tỉ số phân giác và tỉ số đồng dạng để chứng minh.
Lời giải:
- Kẻ phân giác AD của góc BAC (D thuộc BC).
- Theo đề bài, ∠BAC = 2∠B, mà ∠BAC = ∠BAD + ∠DAC, suy ra ∠BAD = ∠DAC = ∠B.
- Xét ΔABD và ΔACB, có ∠B chung, ∠BAD = ∠ACB, suy ra ΔABD ∼ ΔACB (g.g).
- Suy ra AB/AC = BD/BC = AD/AB, hay AB² = AC.AD.
- Xét ΔACD và ΔABC, có ∠C chung, ∠DAC = ∠ABC, suy ra ΔACD ∼ ΔABC (g.g).
- Suy ra AC/BC = CD/AC = AD/AB, hay AC² = BC.CD.
- Theo tính chất đường phân giác, BD/CD = AB/AC, suy ra BD = (AB.CD)/AC.
- Mà BC = BD + CD, suy ra BC = (AB.CD)/AC + CD = CD(AB + AC)/AC.
- Suy ra BC.AC = CD(AB + AC), hay CD = (BC.AC)/(AB + AC).
- Thay CD vào AC² = BC.CD, ta có AC² = BC.(BC.AC)/(AB + AC).
- Suy ra AC²(AB + AC) = BC².AC, hay AC(AB + AC) = BC².
- Vậy BC² = AB.AC + AC².

Câu 3: Chứng minh BH = CD

Phân tích:
- Sử dụng tính chất đường kính và dây cung vuông góc.
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng để suy ra tỉ lệ các cạnh.
Lời giải:
- AK là đường kính, suy ra ∠ABK = ∠ACK = 90°.
- KD ⊥ BC, AH ⊥ BC, suy ra KD // AH.
- Xét ΔABH và ΔACK, có ∠ABH = ∠ACK = 90°, ∠BAH = ∠CAK (cùng phụ ∠ACB), suy ra ΔABH ∼ ΔACK (g.g).
- Suy ra BH/CK = AB/AC.
- Xét tam giác vuông ACK, có KD // AH, suy ra KD vuông góc với BC, và CK = CD.
- Xét ΔABK và ΔADC, có ∠ABK = ∠ADC = 90°, ∠BAK = ∠DAC (cùng phụ ∠ACB), suy ra ΔABK ∼ ΔADC (g.g).
- Suy ra AB/AC = BK/DC.
- Từ BH/CK = AB/AC và AB/AC = BK/DC, suy ra BH/CK = BK/DC.
- Mà CK = DC, suy ra BH = BK.
- Vậy BH = CD.

Hy vọng những lời giải này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các bài toán hình học này!

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

1: Xét tứ giác AFHE có $\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0$

nên AFHE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFHD có $\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0$

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có $\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0$

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Ta có: $\widehat{EFH}=\widehat{EAH}$(AEHF nội tiếp)

$\widehat{DFH}=\widehat{DBH}$(BFHD nội tiếp)

mà $\widehat{EAH}=\widehat{DBH}\left(=90^0-\widehat{ACD}\right)$

nên $\widehat{EFH}=\widehat{DFH}$

=>FH là phân giác của góc EFD

Ta có: $\widehat{FEH}=\widehat{FAH}$(AEHF nội tiếp)

$\widehat{DEH}=\widehat{DCH}$(HECD nội tiếp)

mà $\widehat{FAH}=\widehat{DCH}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)$

nên $\widehat{FEH}=\widehat{DEH}$

=>EH là phân giác của góc FED

Xét ΔFED có

FH,EH là các đường phân giác

FH cắt EH tại H

Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔFED