Câu hỏi của Nguyễn Bá Thanh

Question

Cho tam giác ABC, E trên BC sao cho BE = 3 EC. F nằm trên AC sao cho AF = 2 FC. EF cắt BA kéo dài tạ D. Diện tích CEF = $2\operatorname{cm}^2$ .

Nguyễn Việt Hoàn · Accepted Answer

a) Tính diện tích tam giác ABC

Tỉ lệ diện tích tam giác CEF và BCE:
- Vì BE = 3EC, nên BC = BE + EC = 4EC.
- Do đó, diện tích tam giác BCE gấp 4 lần diện tích tam giác CEF.
- Diện tích tam giác BCE = 4 × 2cm² = 8cm².
Tỉ lệ diện tích tam giác BCE và ABC:
- Vì AF = 2FC, nên AC = AF + FC = 3FC.
- Do đó, diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác BCE.
- Diện tích tam giác ABC = 3 × 8cm² = 24cm².

b) So sánh diện tích tam giác BDF và CDF

Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC và cát tuyến DEF:
- Định lý Menelaus: (AD/DB) × (BE/EC) × (CF/FA) = 1.
- Thay các giá trị đã biết: (AD/DB) × (3/1) × (1/2) = 1.
- Suy ra: AD/DB = 2/3.
- Do đó, BD/AB = 3/5.
Tỉ lệ diện tích tam giác BDF và CDF:
- Ta có: S(BDF) / S(CDF) = (BD/CD)
- Mà ta có: S(CDF) / S(ADF) = CF/AF = 1/2
- Suy ra: S(CDF) = 1/3 S(ACD)
- Ta có S(ACD) / S(ABC) = CD/BC = 1/4
- Suy ra: S(CDF) = 1/12 S(ABC)
- Mà S(ABC) = 24cm²
- Suy ra: S(CDF) = 2cm²
- Mà ta có: S(BDF) / S(CDF) = BD/CD = 3/1
- Vậy S(BDF) = 6cm²

Kết luận

Câu trả lời:

a) Tính diện tích tam giác ABC

Tỉ lệ diện tích tam giác CEF và BCE:
- Vì BE = 3EC, nên BC = BE + EC = 4EC.
- Do đó, diện tích tam giác BCE gấp 4 lần diện tích tam giác CEF.
- Diện tích tam giác BCE = 4 × 2cm² = 8cm².
Tỉ lệ diện tích tam giác BCE và ABC:
- Vì AF = 2FC, nên AC = AF + FC = 3FC.
- Do đó, diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác BCE.
- Diện tích tam giác ABC = 3 × 8cm² = 24cm².

b) So sánh diện tích tam giác BDF và CDF

Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC và cát tuyến DEF:
- Định lý Menelaus: (AD/DB) × (BE/EC) × (CF/FA) = 1.
- Thay các giá trị đã biết: (AD/DB) × (3/1) × (1/2) = 1.
- Suy ra: AD/DB = 2/3.
- Do đó, BD/AB = 3/5.
Tỉ lệ diện tích tam giác BDF và CDF:
- Ta có: S(BDF) / S(CDF) = (BD/CD)
- Mà ta có: S(CDF) / S(ADF) = CF/AF = 1/2
- Suy ra: S(CDF) = 1/3 S(ACD)
- Ta có S(ACD) / S(ABC) = CD/BC = 1/4
- Suy ra: S(CDF) = 1/12 S(ABC)
- Mà S(ABC) = 24cm²
- Suy ra: S(CDF) = 2cm²
- Mà ta có: S(BDF) / S(CDF) = BD/CD = 3/1
- Vậy S(BDF) = 6cm²

Kết luận