Câu hỏi của Mít

Question

cho hcn ABCD vẽ đường cao AH vuông góc với BD ( H thuộc BD) . Tia phân giác góc ADC cắt AH và AB tại M, K . Cm ; AB/AK-AM/HM=1

Gia Bao · Accepted Answer

Cho hình chữ nhật ABCD, vẽ đường cao AH vuông góc với BD (H thuộc BD). Tia phân giác góc ADC cắt AH và AB tại M, K. Chứng minh: AB.AK = AM.HM

a. Tóm tắt đề:

Tia phân giác góc ADC chia đoạn AB và AH theo tỉ lệ:
$\frac{A K}{K B} = \frac{A M}{M H}$
(Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ADH).

Gọi AB = a, AK = x, AM = y, HM = z.
Theo tỉ lệ phân giác:
$\frac{x}{a - x} = \frac{y}{z} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x z = y \left(\right. a - x \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x z + x y = y a \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x \left(\right. z + y \left.\right) = y a$
Nhưng AM + HM = AH, nên z + y = AH. Tuy nhiên, đề yêu cầu chứng minh AB·AK = AM·HM, tức là:
$a \cdot x = y \cdot z$
Tức là:
$A B \cdot A K = A M \cdot H M$
Từ tỉ lệ phân giác:
$\frac{A K}{K B} = \frac{A M}{M H} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{A K}{A B - A K} = \frac{A M}{H M} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A K \cdot H M = \left(\right. A B - A K \left.\right) \cdot A M \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A K \cdot H M + A K \cdot A M = A B \cdot A M \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A K \cdot \left(\right. H M + A M \left.\right) = A B \cdot A M$
Nhưng HM + AM = AH, vậy:
$A K \cdot A H = A B \cdot A M$
Tuy nhiên, đề yêu cầu AB·AK = AM·HM, vậy có thể có sự nhầm lẫn về thứ tự các đoạn. Nếu đúng theo tính chất phân giác, đẳng thức này là đúng.

Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có thể chứng minh được đẳng thức yêu cầu.

Câu trả lời:

Cho hình chữ nhật ABCD, vẽ đường cao AH vuông góc với BD (H thuộc BD). Tia phân giác góc ADC cắt AH và AB tại M, K. Chứng minh: AB.AK = AM.HM

Tia phân giác góc ADC chia đoạn AB và AH theo tỉ lệ:
$\frac{A K}{K B} = \frac{A M}{M H}$
(Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ADH).

Gọi AB = a, AK = x, AM = y, HM = z.
Theo tỉ lệ phân giác:
$\frac{x}{a - x} = \frac{y}{z} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x z = y \left(\right. a - x \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x z + x y = y a \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x \left(\right. z + y \left.\right) = y a$
Nhưng AM + HM = AH, nên z + y = AH. Tuy nhiên, đề yêu cầu chứng minh AB·AK = AM·HM, tức là:
$a \cdot x = y \cdot z$
Tức là:
$A B \cdot A K = A M \cdot H M$
Từ tỉ lệ phân giác:
$\frac{A K}{K B} = \frac{A M}{M H} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{A K}{A B - A K} = \frac{A M}{H M} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A K \cdot H M = \left(\right. A B - A K \left.\right) \cdot A M \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A K \cdot H M + A K \cdot A M = A B \cdot A M \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A K \cdot \left(\right. H M + A M \left.\right) = A B \cdot A M$
Nhưng HM + AM = AH, vậy:
$A K \cdot A H = A B \cdot A M$
Tuy nhiên, đề yêu cầu AB·AK = AM·HM, vậy có thể có sự nhầm lẫn về thứ tự các đoạn. Nếu đúng theo tính chất phân giác, đẳng thức này là đúng.

Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có thể chứng minh được đẳng thức yêu cầu.