Đáp án B.

Vẽ đường thẳng d qua B và song song với AC.

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H trên d và SB, L là hình chiếu của H trên SK.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử

$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Vector $\vec{AC} = C-A = (a,2a,0)$ và vector $\vec{SB} = B-S = \left(a - \dfrac{a}{2}, 0 - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, 0, -h\right)$.

Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a\sqrt{3}$. Phương trình mặt phẳng $(SBC)$:

Vector pháp tuyến $\vec{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC}$, với $C=(a,2a,0)$, $S=(\dfrac{a}{2},0,h)$:

$\overrightarrow{SC} = C-S = \left(a-\dfrac{a}{2}, 2a-0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2},2a,-h\right)$

$\vec{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\dfrac{a}{2} & 0 & -h \\\dfrac{a}{2} & 2a & -h\end{vmatrix} = (2ah, 0, a^2)$

Khoảng cách từ $D(0,2a,0)$ đến mặt phẳng $(SBC)$:

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \overrightarrow{SD} |}{|\vec{n}|} = 2a\sqrt{3} \Rightarrow h = a\sqrt{3}$

Vậy $S = \left(\dfrac{a}{2},0,a\sqrt{3}\right)$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$:

$d = \dfrac{| (\vec{AC} \times \vec{SB}) \cdot \overrightarrow{SA} |}{|\vec{AC} \times \vec{SB}|}$

Tính vector:

$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{SB} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & 2a & 0 \\\dfrac{a}{2} & 0 & -a\sqrt{3}\end{vmatrix} = (-4a^2\sqrt{3})\mathbf{i} + (a^2 \sqrt{3})\mathbf{j} + (-a^2)\mathbf{k}$

$\overrightarrow{SA} = A-S = \left(-\dfrac{a}{2},0,-a\sqrt{3}\right)$

Tích vô hướng:

$(\vec{AC} \times \vec{SB}) \cdot \overrightarrow{SA} = (-4a^2\sqrt{3}) \cdot (-\dfrac{a}{2}) + (a^2 \sqrt{3}) \cdot 0 + (-a^2) \cdot (-a\sqrt{3}) = 3a^3\sqrt{3}$

Độ dài tích có hướng:

$|\vec{AC} \times \vec{SB}| = \sqrt{(-4a^2\sqrt{3})^2 + (a^2\sqrt{3})^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{52a^4} = 2a^2\sqrt{13}$

Vậy khoảng cách giữa $SB$ và $AC$:

$d = \dfrac{3a^3\sqrt{3}}{2a^2\sqrt{13}} = \dfrac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} = \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$

Đáp án: $d = \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$

Kẻ \(SH\perp AB\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

Trong mp (ABCD), qua H kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại K

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB\perp\left(SHK\right)\\CD\perp\left(SHK\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(SHK\right)\perp\left(SAB\right)\\\left(SHK\right)\perp\left(SCD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\widehat{HSK}\) là góc giữa (SAB) và (SCD)

Ta có:

\(SB=\sqrt{AB^2-SA^2}=a\sqrt{3}\Rightarrow SH=\dfrac{SA.SB}{AB}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\); \(HK=AD=2a\)

\(tan\widehat{HSK}=\dfrac{HK}{SH}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\Rightarrow\widehat{HSK}\approx66^035'\)

1)

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$.

Vì $(SAC) \perp (ABC)$ nên $H \in AC$.

a) Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $HC$:

$\tan \alpha = \dfrac{SH}{HC}$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, $H \in AC$ nên đặt $HC = x$.

Vì tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $SH \perp AC$ tại trung điểm $\Rightarrow H$ là trung điểm $AC$.

Suy ra $HC = \dfrac{a}{2}$.

Xét góc giữa $SB$ và đáy:

$\tan 30^\circ = \dfrac{SH}{BH} = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Trong tam giác đều:

$BH = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

=> $\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SH}{\dfrac{\sqrt3}{2}a} \Rightarrow SH = \dfrac{a}{2}$.

Do đó: $\tan \alpha = \dfrac{SH}{HC} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2}} = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ$.

b) Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, khi đó góc giữa hai mặt phẳng là:

$\tan \beta = \dfrac{SH}{HM}$.

Trong tam giác đều:

$HM = \dfrac{\sqrt3}{2}a \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{4}$.

=> $\tan \beta = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt3}{4}} = \dfrac{2}{\sqrt3} \Rightarrow \beta = \arctan \dfrac{2}{\sqrt3}$.

2)

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ và tam giác $SAB$ vuông tại $S$ nên:

$SA \perp SB$, đồng thời $SA \perp (ABC)$.

=> $SA$ là chiều cao.

a) Góc giữa $SC$ và $(ABC)$:

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ thì $H \equiv A$.

Do đó: $\tan \alpha = \dfrac{SA}{AC}$.

Vì tam giác đều: $AC = a$.

=> $\tan \alpha = \dfrac{a\sqrt3}{a} = \sqrt3 \Rightarrow \alpha = 60^\circ$.

b) Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có:

$\tan \beta = \dfrac{SA}{AM}$.

Trong tam giác đều:

$AM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

=> $\tan \beta = \dfrac{a\sqrt3}{\dfrac{\sqrt3}{2}a} = 2 \Rightarrow \beta = \arctan 2$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử

$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $45^\circ$.

Vector $\vec{SC}$ là

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2},\ 2a - 0,\ 0 - h \right) = \left(\dfrac{a}{2},\ 2a,\ -h\right)$

Chiều dài trong mặt phẳng đáy:

$SC_{xy} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{\dfrac{17a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$

Góc giữa $SC$ và mặt đáy:

$\tan \theta = \dfrac{|SC_z|}{SC_{xy}} = \dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}}$

Vì $\theta = 45^\circ \Rightarrow \tan 45^\circ = 1$, nên

$\dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = 1 \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$

Tọa độ điểm $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right)$ và $D(0,2a,0)$. Trung điểm $M$ của $SD$ là:

$M = \left(\dfrac{\dfrac{a}{2}+0}{2},\ \dfrac{0+2a}{2},\ \dfrac{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}+0}{2}\right) = \left(\dfrac{a}{4},\ a,\ \dfrac{a\sqrt{17}}{4}\right)$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$:

$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},0,-\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right) \times \left(\dfrac{a}{2},2a,-\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right) = \left(a^2 \sqrt{17}, 0, -a^2\right)$

Phương trình mặt phẳng $(SAC)$:

$a^2\sqrt{17}(x - \dfrac{a}{2}) + 0 \cdot (y-0) + (-a^2)(z-\dfrac{a\sqrt{17}}{2})=0 \Rightarrow z - \sqrt{17} x = 0$

Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SAC)$:

$d = \dfrac{|z_M - \sqrt{17} x_M|}{\sqrt{(\sqrt{17})^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|\dfrac{a\sqrt{17}}{4} - \sqrt{17} \cdot \dfrac{a}{4}|}{\sqrt{17+1}} = 0$

Vậy $M$ nằm trên mặt phẳng $(SAC)$, nên khoảng cách $d = 0$.

 thôi ngay trò spam nếu ko muốn bay acc

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Thể tích đã cho: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z \Rightarrow \dfrac{a^2 \cdot h}{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Tọa độ $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$ và $C(a,a,0)$

Vector $\vec{SC} = (a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - \dfrac{a\sqrt{15}}{2}) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$

Chiều dài trong mặt phẳng đáy: $SC_{xy} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2} = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Góc $\theta$ giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy:

$\tan \theta = \dfrac{|SC_z|}{SC_{xy}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\dfrac{a\sqrt5}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = 60^\circ$

Chọn C.

Đáp án B.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ với $AB = AC = a\sqrt2$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot (a\sqrt2)^2 = a^2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot h = a^3 \Rightarrow \dfrac13 \cdot a^2 \cdot h = a^3 \Rightarrow h = 3a$.

Suy ra khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$ là $SH = 3a$.

Mặt bên $(SBC) \perp (ABC)$ nên $SH \perp (SBC)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$, $M$ là trung điểm $BC$ thì $SM \perp BC$ và $SM$ là chiều cao trong $(SBC)$.

Xét tam giác vuông $SAM$ (vì $SM \perp (ABC)$):

$SA^2 = SH^2 + HA^2$.

Ta có: $BC = 2a\sqrt2 \Rightarrow AM = \dfrac{BC}{2} = a\sqrt2$.

=> $SA^2 = (3a)^2 + (a\sqrt2)^2 = 9a^2 + 2a^2 = 11a^2 \Rightarrow SA = a\sqrt{11}$.

Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó lên $(SBC)$, chính là góc $\widehat{ASM}$.

Ta có: $\sin \alpha = \dfrac{SH}{SA} = \dfrac{3a}{a\sqrt{11}} = \dfrac{3}{\sqrt{11}}$.

Suy ra: $\alpha = \arcsin \dfrac{3}{\sqrt{11}} \approx \dfrac{\pi}{3}$.

Chọn đáp án B.