Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(Q=\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+1}+\frac{1}{\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+1}+\frac{1}{\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+1}\)
Đặt \(\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)
\(Q=\frac{1}{a^3+c^3+1}+\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}\)
Ta có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow Q\le\frac{1}{ac\left(a+c\right)+1}+\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}\)
\(Q\le\frac{abc}{ac\left(a+c\right)+abc}+\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}\)
\(Q\le\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow Q_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z\)
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Online Math - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
\(A=\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}\)
\(2A=\frac{z+2\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}-\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{x+2\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{y+2\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}-\frac{y}{y+2\sqrt{zx}}\)
\(=3-\left(\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{y}{y+2\sqrt{zx}}+\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}\right)\le3-\left(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\right)\)
\(=3-\frac{x+y+z}{x+y+z}=3-1=2\)\(\Leftrightarrow\)\(A\le\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
...
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=0\Rightarrow\frac{x+y+z}{xyz}=0\Rightarrow x+y+z=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(N=\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}=\frac{3xyz}{xyz}=3\)
\(\frac{x^2-yz}{yz}+1+\frac{y^2-zx}{zx}+1+\frac{z^2-xy}{xy}+1=3\Leftrightarrow\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xyz}\left(x^3+y^3+z^3\right)=3\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x=y=z\end{cases}}\)
Tới đây bạn thay vào nhé :)
1. Từ Giả Thuyết
Cho phương trình:
\(x + y + z = 0\)ta có thể suy ra:
\(x^{2} + y^{2} + z^{2} = - 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)\)2. Tính Mẫu Số
Chúng ta tính:
\(\left(\right. y - z \left.\right)^{2} + \left(\right. z - x \left.\right)^{2} + \left(\right. x - y \left.\right)^{2}\)Biểu thức này có thể được giản lược như sau:
\(= 2 \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x \left.\right)\)Thay thế kết quả từ Bước 1:
\(= 2 \left(\right. - 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) - \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) \left.\right)\) \(= 2 \left(\right. - 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) \left.\right) = - 6 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)\)3. Thay vào Biểu Thức cho \(\mid A \mid\)
Tiếp theo, chúng ta cần xem xét định thức:
\(\mid A \mid = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{\left(\right. y - z \left.\right)^{2} + \left(\right. z - x \left.\right)^{2} + \left(\right. x - y \left.\right)^{2}}\)Thay thế những gì chúng ta đã tìm được:
\(\mid A \mid = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{- 6 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)}\)Sử dụng kết quả trước đó:
\(= \frac{- 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)}{- 6 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)} = \frac{1}{3}\)4. Kết Quả Cuối Cùng
Kết quả cuối cùng là:
\(\mathbf{\mid} \mathbf{A} \mathbf{\mid} = \frac{1}{3}\)