a: Xét ΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{3^2+7^2-8^2}{2\cdot3\cdot7}=\frac{9+49-64}{2\cdot3\cdot7}=\frac{-6}{6\cdot7}=-\frac17\)

=>\(\sin A=\sqrt{1-\left(-\frac17\right)^2}=\frac{4\sqrt3}{7}\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\)

\(=\frac12\cdot3\cdot7\cdot4\sqrt3=\frac{12\sqrt3}{2}=6\sqrt3\)

b: Xét ΔABC có \(\frac{BC}{\sin A}=2R\)

=>\(2R=8:\frac{4\sqrt3}{7}=8\cdot\frac{7}{4\sqrt3}=\frac{7\cdot2}{\sqrt3}=\frac{14}{\sqrt3}\)

=>\(R=\frac{7}{\sqrt3}\)

c: Độ dài đường cao AH là:

\(AH=\frac{2\cdot S_{ABC}}{BC}=\frac{2\cdot6\sqrt3}{8}=\frac{3\sqrt3}{2}\)

a) Gọi A,B lần lượt là trung điểm của MN, MP ta có: \(A\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right),B\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)\)

Đường trung trực \(\Delta \)của đoạn  thẳng MN  là đường thẳng đi qua  \(A\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\) và nhận vt \(\overrightarrow {MN}  = ( - 1; - 3)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  \( - x - 3y + 12 = 0\)

Đường trung trực d của đoạn thẳng MP  là đường thẳng đi qua  \(B\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)\) và nhận vt \(\overrightarrow {MP}  = (3; - 1)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  \(3x - y - 6 = 0\)

\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(3;3)\) cách đều ba điểm M, N, P suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(3;3)\) và có bán kính \(R = IM = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\)

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{7}{2};\frac{{13}}{2}} \right),N\left( {4;3} \right)\)

Đường trung trực \(\Delta \)của đoạn  thẳng AB là đường thẳng đi qua  \(M\left( {\frac{7}{2};\frac{{13}}{2}} \right)\) và nhận vt \(\overrightarrow {BA}  = ( - 7; - 1)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  \( - 7x - y + 31 = 0\)

Đường trung trực d của đoạn thẳng AC  là đường thẳng đi qua  \(N\left( {4;3} \right)\) và nhận vt \(\overrightarrow {AC}  = (8; - 6)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  \(8x - 6y - 14 = 0\)

\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(4;3)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(4;3)\) và có bán kính \(R = IA = 5\). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\)