Câu hỏi của Duyên Lương

Question

Cho ∆ABC có góc A < 90 , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB , AE vuông góc và bằng AC . Gọi M là trung điểm của DE . CMR: MA vuông góc với BC .

Nguyễn Việt Hoàn · Accepted Answer

Để chứng minh MA vuông góc với BC, ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ.

1. Đặt vectơ:

Đặt vectơ AB = b, vectơ AC = c.
Vì AD vuông góc và bằng AB, ta có vectơ AD = b', với |b'| = |b| và b'. b = 0.
Tương tự, vectơ AE = c', với |c'| = |c| và c'. c = 0.

2. Biểu diễn vectơ AM:

M là trung điểm DE, nên vectơ AM = (1/2)(AD + AE) = (1/2)(b' + c').

3. Biểu diễn vectơ BC:

Vectơ BC = AC - AB = c - b.

4. Chứng minh MA vuông góc BC:

Ta cần chứng minh MA. BC = 0.
MA. BC = (1/2)(b' + c'). (c - b)
MA. BC = (1/2)(b'. c - b'. b + c'. c - c'. b)
Vì b'. b = 0 và c'. c = 0, ta có:
MA. BC = (1/2)(b'. c - c'. b)

5. Chứng minh b'.c = c'.b:

Vì AD = AB và AE = AC, ta có |b'| = |b| và |c'| = |c|.
Vì AD vuông góc AB và AE vuông góc AC, ta có góc DAB = góc EAC = 90 độ.
Suy ra, góc DAC = góc BAE (cùng bằng 90 độ + góc BAC).
Xét tam giác ADC và tam giác ABE:
- AD = AB
- AC = AE
- Góc DAC = góc BAE
Suy ra, tam giác ADC đồng dạng tam giác ABE (c-g-c).
Suy ra, CD = BE.
Ta có:
- b'. c = |b'||c|cos(góc DAC)
- c'. b = |c'||b|cos(góc BAE)
Vì |b'| = |b|, |c'| = |c| và góc DAC = góc BAE, ta có:
b'. c = c'. b
Suy ra: b'. c - c'. b = 0.

6. Kết luận:

MA. BC = (1/2)(0) = 0.
Vậy, MA vuông góc BC.

Câu trả lời:

Để chứng minh MA vuông góc với BC, ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ.

1. Đặt vectơ:

Đặt vectơ AB = b, vectơ AC = c.
Vì AD vuông góc và bằng AB, ta có vectơ AD = b', với |b'| = |b| và b'. b = 0.
Tương tự, vectơ AE = c', với |c'| = |c| và c'. c = 0.

2. Biểu diễn vectơ AM:

M là trung điểm DE, nên vectơ AM = (1/2)(AD + AE) = (1/2)(b' + c').

3. Biểu diễn vectơ BC:

Vectơ BC = AC - AB = c - b.

4. Chứng minh MA vuông góc BC:

Ta cần chứng minh MA. BC = 0.
MA. BC = (1/2)(b' + c'). (c - b)
MA. BC = (1/2)(b'. c - b'. b + c'. c - c'. b)
Vì b'. b = 0 và c'. c = 0, ta có:
MA. BC = (1/2)(b'. c - c'. b)

5. Chứng minh b'.c = c'.b:

Vì AD = AB và AE = AC, ta có |b'| = |b| và |c'| = |c|.
Vì AD vuông góc AB và AE vuông góc AC, ta có góc DAB = góc EAC = 90 độ.
Suy ra, góc DAC = góc BAE (cùng bằng 90 độ + góc BAC).
Xét tam giác ADC và tam giác ABE:
- AD = AB
- AC = AE
- Góc DAC = góc BAE
Suy ra, tam giác ADC đồng dạng tam giác ABE (c-g-c).
Suy ra, CD = BE.
Ta có:
- b'. c = |b'||c|cos(góc DAC)
- c'. b = |c'||b|cos(góc BAE)
Vì |b'| = |b|, |c'| = |c| và góc DAC = góc BAE, ta có:
b'. c = c'. b
Suy ra: b'. c - c'. b = 0.

6. Kết luận:

MA. BC = (1/2)(0) = 0.
Vậy, MA vuông góc BC.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP