Bài 2: Định lý Fermat cuối cùng (FLT - Fermat’s Last Theorem) khẳng định rằng không tồn tại các số nguyên dương (A), (B), (C), (x), (y), (z) sao cho (A^x + B^y = C^z) với (x, y, z > 2). Tuy nhiên, muốn tìm một ví dụ cụ thể để điền vào dạng (Ax + By = Cz) với điều kiện (A, B, C, x, y, z) là các số nguyên dương, (x, y, z > 2), và (A, B, C) có bội số chung nhỏ nhất (tức là ước chung lớn nhất của (A, B, C) là 1). Trước tiên, cần làm rõ rằng (Ax + By = Cz) không phải là dạng chuẩn của định lý Fermat (dạng chuẩn là (A^x + B^y = C^z)). Có thể bài toán đang yêu cầu một phương trình tương tự nhưng không mâu thuẫn với FLT, hoặc có một cách hiểu khác về bài toán. Vì vậy, có 2 hai trường hợp: Trường hợp 1: Hiểu theo dạng chuẩn của FLT ((A^x + B^y = C^z)) Theo định lý Fermat, không tồn tại bộ số nguyên dương (A, B, C, x, y, z) với (x, y, z > 2) thỏa mãn (A^x + B^y = C^z). Do đó, nếu bạn muốn điền số vào (A^x + B^y = C^z) với điều kiện (x, y, z > 2), thì không có đáp án nào phù hợp. Ví dụ, với (x = y = z = 3): • (2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35), nhưng không có số nguyên (C) nào thỏa (C^3 = 35) (vì (3^3 = 27 < 35 2) và (A, B, C) có ước chung lớn nhất là 1, ta có thể thử tìm một bộ số thỏa mãn. Tuy nhiên, lưu ý rằng đây không phải là định lý Fermat mà là một phương trình tuyến tính ở vế trái và lũy thừa ở vế phải. Hãy thử một ví dụ: • Chọn (x = 3, y = 4, z = 5) (đều (> 2)). • Thử (A = 1, B = 1, C = 1): ◦ (1 . 3 + 1 . 4 = 3 + 4 = 7), ◦ (1 . 5 = 5), không thỏa mãn vì (7 # 5). • Thử (A = 2, B = 3, C = 1): ◦ (2 . 3 + 3 . 4 = 6 + 12 = 18), ◦ (1 . 5 = 5), không thỏa mãn. • Thử (A = 1, B = 2, C = 3), với (x = 3, y = 3, z = 3): ◦ (1 . 3 + 2 . 3 = 3 + 6 = 9), ◦ (3 . 3 = 9), thỏa mãn! ◦ Kiểm tra: (gcd(1, 2, 3) = 1), và (x = 3, y = 3, z = 3 > 2). Vậy, một bộ số thỏa mãn (Ax + By = Cz) là: • (A = 1, B = 2, C = 3, x = 3, y = 3, z = 3), • Phương trình: (1 . 3 + 2 . 3 = 3 . 3), tức (3 + 6 = 9). Kết luận Nếu muốn áp dụng đúng định lý Fermat (A^x + B^y = C^z), thì không có đáp án. Nhưng với dạng (Ax + By = Cz), một ví dụ là: • (1 . 3 + 2 . 3 = 3 . 3), • tức là (A = 1, B = 2, C = 3, x = 3, y = 3, z = 3).