1. Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M trên AD (M ≠ A, D), kẻ AH vuông góc BM tại H, lấy N trên AB sao cho AM = AN. Chứng minh CD² = BH·BM

Tóm tắt hình vẽ:

• ABCD là hình vuông cạnh a.
• M trên AD, AM = AN (N trên AB).
• Kẻ AH ⟂ BM tại H.
• Chứng minh: \(C D^{2} = B H \cdot B M\)

Hướng dẫn chứng minh:

1. Vì ABCD là hình vuông nên CD = a.
2. AM = AN ⇒ ΔAMN cân tại A.
3. Kẻ AH ⟂ BM tại H, xét tam giác vuông ABM có AH là đường cao ứng với cạnh BM.
4. Trong tam giác vuông, ta có hệ thức lượng:
   \(A H^{2} = B H \cdot H M\)
   Nhưng đề bài cần chứng minh $CD^2 = BH \cdot BM$, mà $CD = a$.
5. Do đó, cần chứng minh $a^2 = BH \cdot BM$.

Giả sử bạn dựng hình, đặt tọa độ:

• A(0,0), B(a,0), D(0,a), C(a,a)
• Gọi M(0,m) với $0 < m < a$
• N(a₁,0) với $AM = AN \Rightarrow \sqrt{(a₁)^2} = \sqrt{m^2} \Rightarrow a₁ = m$

Vậy N(m,0)

• BM: đi qua B(a,0) và M(0,m)
• • Phương trình: $y = -\frac{m}{a}x + m$
• AH ⟂ BM, đi qua A(0,0)
• • Hệ số góc là $k' = \frac{a}{m}$
  • Phương trình: $y = \frac{a}{m}x$

Tọa độ H là giao điểm hai đường:

\(- \frac{m}{a} x + m = \frac{a}{m} x \Rightarrow m = x \left(\right. \frac{a}{m} + \frac{m}{a} \left.\right) \Rightarrow m = x \frac{a^{2} + m^{2}}{a m} \Rightarrow x = \frac{m^{2} a}{a^{2} + m^{2}}\)\(y = \frac{a}{m} x = \frac{a}{m} \cdot \frac{m^{2} a}{a^{2} + m^{2}} = \frac{a^{2} m}{a^{2} + m^{2}}\)

Tọa độ H:

\(H \left(\right. \frac{m^{2} a}{a^{2} + m^{2}} ; \textrm{ } \frac{a^{2} m}{a^{2} + m^{2}} \left.\right)\)

BM có B(a,0), M(0,m):

\(B M = \sqrt{\left(\right. a - 0 \left.\right)^{2} + \left(\right. 0 - m \left.\right)^{2}} = \sqrt{a^{2} + m^{2}}\)

BH = khoảng cách từ B(a,0) đến H:

\(B H = \sqrt{\left(\right. a - \frac{m^{2} a}{a^{2} + m^{2}} \left.\right)^{2} + \left(\right. 0 - \frac{a^{2} m}{a^{2} + m^{2}} \left.\right)^{2}}\)\(= \sqrt{\left(\left(\right. \frac{a \left(\right. a^{2} + m^{2} \left.\right) - m^{2} a}{a^{2} + m^{2}} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. - \frac{a^{2} m}{a^{2} + m^{2}} \left.\right)\right)^{2}}\)\(= \sqrt{\left(\left(\right. \frac{a^{3}}{a^{2} + m^{2}} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{a^{2} m}{a^{2} + m^{2}} \left.\right)\right)^{2}}\)\(= \frac{1}{a^{2} + m^{2}} \sqrt{a^{6} + a^{4} m^{2}}\)\(= \frac{a^{2}}{a^{2} + m^{2}} \sqrt{a^{2} + m^{2}}\)

Vậy:

\(B M = \sqrt{a^{2} + m^{2}}\)\(B H \cdot B M = \frac{a^{2}}{a^{2} + m^{2}} \sqrt{a^{2} + m^{2}} \cdot \sqrt{a^{2} + m^{2}} = a^{2}\)

Vậy đã chứng minh:

\(C D^{2} = a^{2} = B H \cdot B M\)