\(a+b+c=3\Rightarrow b=3-a-c\)

\(\Leftrightarrow a+a\left(3-a-c\right)+2ac\left(3-a-c\right)\le\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow f\left(a\right)=\left(2c+1\right)a^2+\left(2c^2-5c-4\right)a-\frac{9}{2}\ge0\)

thấy f(a) là một tam thức bậc 2 của a có hệ số a²>=0 và lại có

\(\Delta=\left(2c^2-5c-4\right)^2-48\left(2c+1\right)=\left(2c-1\right)^2\left(c^2-4c-2\right)\le0\)

đúng do 0=<c=<3

=> f(a) >=0

dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{3}{2};b=1;c=\frac{1}{2}\)

Nếu a<b thì a-b<0 ,suy ra \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)<0\)(hằng đẳng thức)
Hiển nhiên \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>0\)với mọi a khác b nên suy ra \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)<0\)

suy ra ĐPCM, tương tự

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}=2\Leftrightarrow\sqrt{x}+1=2\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}=3\Leftrightarrow\sqrt{x}-2=3\Leftrightarrow\sqrt{x}=5\Leftrightarrow x=25\) 

\(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=\sqrt{x-1}-1=2\) 

\(\Leftrightarrow x=10\)

 ĐKXĐ tự tìm\(b,\sqrt{x-4\sqrt{x}+4}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=5\)

\(\Rightarrow x=5^2=25\)

b, Để hệ phương trình có hệ duy nhất khi : \(\frac{1}{m}\ne\frac{m}{1}\Leftrightarrow m^2\ne1\Leftrightarrow m\ne\pm1\)

Vơí \(m\ne\pm1\)

\(\hept{\begin{cases}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}mx+m^2y=m^2+m\\mx+y=2m\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m^2-1\right)y=m^2-m\\mx+y=2m\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m-1\right)\left(m+1\right)y=m\left(m-1\right)\\mx+y=2m\end{cases}}}\)

\(\left(1\right)\Rightarrow\left(m-1\right)\left(my+y-m\right)=0\Leftrightarrow y=\frac{m}{m+1}\)

Thay vào (2) ta được : \(mx+\frac{m}{m+1}=2m\Leftrightarrow mx\left(m+1\right)+m=2m\left(m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2x+mx+m=2m^2+2m\Leftrightarrow x\left(m^2+m\right)=2m^2+m\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{2m^2+m}{m^2+m}=\frac{2m+1}{m+1}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( x ; y ) = \(\left(\frac{2m+1}{m+1};\frac{m}{m+1}\right)\)

Thay vào biểu thức trên ta được : \(x+5y=4\Rightarrow\frac{2m+1}{m+1}+\frac{5m}{m+1}=4\)ĐK : \(m\ne-1\)

\(\Rightarrow7m+1=4m+4\Leftrightarrow3m-3=0\Leftrightarrow m=1\)( tmđk ) 

\(\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\sqrt{x^2-4x+4}-2=\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\left|x-2\right|-2\)

Với x >= 2 thì \(\frac{x}{2}+\frac{3\left(x-2\right)}{2}=\frac{3x+x-6}{2}=\frac{4x-6}{2}=2x-3\)

Với x < 2 thì \(\frac{x}{2}+\frac{3\left(2-x\right)}{2}=\frac{x+6-3x}{2}=\frac{6-2x}{2}=3-x\)

Mn ơi chỉ cần làm câu b thôi nha. Câu a mk làm đk r. ak mk nhắc tí câu b là sử dụng kết quả của câu a nha. Mk viết thế để mn dễ lm hơn.

\(P=\Sigma\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\Sigma\frac{1}{\sqrt{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}+4}=\Sigma\frac{1}{a+b+4}\)

\(\le\frac{1}{4}\Sigma\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1 

Bạn ghi lãi đề nhá!

\(x^2-5x+36=8\sqrt{3x+4}\)

tìm x