Chúng ta có bài toán tìm số dư của \(a\) khi chia cho 36, với các điều kiện:

\(a \equiv 3 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\) \(a \equiv 6 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\)

Chúng ta cần tìm \(a m o d \textrm{ } \textrm{ } 36\), tức là tìm số dư khi chia \(a\) cho 36.

Bước 1: Đặt biểu thức tổng quát

Từ \(a \equiv 3 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\), ta có:

\(a = 4 k + 3\)

với \(k\) là một số nguyên.

Thay vào điều kiện thứ hai \(a \equiv 6 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\):

\(4 k + 3 \equiv 6 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\)

Bước 2: Giải phương trình đồng dư

Chuyển vế:

\(4 k \equiv 3 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\)

Tìm nghiệm của phương trình đồng dư này. Trước tiên, xét nghịch đảo của 4 modulo 9. Ta tìm số \(x\) sao cho:

\(4 x \equiv 1 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\)

Dùng thử các số nhỏ:

\(4 \times 1 = 4 ≢ 1 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\) \(4 \times 2 = 8 ≢ 1 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\) \(4 \times 3 = 12 \equiv 3 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\) \(4 \times 4 = 16 \equiv 7 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\) \(4 \times 7 = 28 \equiv 1 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\)

Vậy nghịch đảo của 4 modulo 9 là 7.

Nhân cả hai vế của phương trình \(4 k \equiv 3 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\) với 7:

\(k \equiv 3 \times 7 \equiv 21 \equiv 3 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\)

Thay \(k = 9 m + 3\) vào \(a = 4 k + 3\):

\(a = 4 \left(\right. 9 m + 3 \left.\right) + 3 = 36 m + 15\)

Bước 3: Tìm số dư khi chia cho 36

Từ \(a = 36 m + 15\), rõ ràng số dư khi chia \(a\) cho 36 là 15.

Kết luận:

Số dư trong phép chia \(a\) cho 36 là 15.