Xét tam giác ABC có

P là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Suy ra PN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra PN song song với BC

Có NP song song với BC

Mà BC vuông góc với AH

Suy ra NP vuông góc với AH

Xét tứ giác MNQH có

PN song song với BC

Suy ra MNQH là hình thang

Mà góc MQH = 90 độ ( NP vuông góc với AH )

góc QHM = 90 độ ( AH vuông góc với BC )

Suy ra MNOH là hình thang vuông

Mình chịu câu b) :(

.

a: Xét ΔMAD và ΔMBE có

\(\hat{AMD}=\hat{BME}\) (hai góc đối đỉnh)

MA=MB

\(\hat{MAD}=\hat{MBE}\) (hai góc so le trong, AD//BE)

Do đó: ΔMAD=ΔMBE

=>AD=BE

Xét tứ giác ADBE có

AD//BE

AD=BE

Do đó: ADBE là hình bình hành

b: Ta có: AD=BE

AD=BC

Do đó: BE=BC

=>B là trung điểm của CE

Xét ΔKID và ΔDIC có

góc KID=góc DIC

góc DKC=góc ICD
=>ΔKID đồng dạng với ΔDIC

=>KI/DI=KD/DC

mà KD=KA và DC=DB

nên KI/DI=KA/DB

=>ΔKIA đồng dạng với ΔDIB

=>góc AIK=góc BID

mà góc IKA=góc IDB

nên góc AIB=góc KID=90 độ

tại sao góc DKC = góc ICD vậy ạ?

Đề bài:

• Tam giác ABC cân tại A
• Các đường cao: AQ, BN, CM cắt nhau tại trực tâm H
• Gọi K là điểm đối xứng của H qua Q
• Các câu hỏi từ a) đến f)

a) Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?

Phân tích:

• H là trực tâm tam giác ABC.
• AQ là đường cao từ A ⇒ Q thuộc BC, AQ ⊥ BC.
• BN và CM là các đường cao ⇒ H là giao điểm của 3 đường cao.
• K là đối xứng của H qua Q ⇒ Q là trung điểm của đoạn HK.

Ta cần xét tứ giác BHCK.

Chứng minh:

• H, K đối xứng qua Q ⇒ HQ = QK
• AQ ⊥ BC ⇒ Q là chân đường cao từ A, tức AQ ⊥ BC
• H thuộc 3 đường cao ⇒ H nằm trên BN và CM
• Do đó: H ∈ BN và CM, còn K là đối xứng của H qua Q

⇒ BH ⊥ AC, CK ⊥ AB

Xét BHCK:

• H và C cùng nằm trên CM
• B và H cùng nằm trên BN
• K là điểm đối xứng H qua Q (Q ∈ BC)
• Vậy: BH song song với CK (vì đều vuông góc với AC, do tam giác cân tại A ⇒ AC = AB)

⇒ BH ∥ CK và BH = CK (do đối xứng)

Kết luận:
Tứ giác BHCK là hình bình hành
(vì có 2 cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau)

b) Đường thẳng qua K song song BC cắt đường thẳng qua C song song với AK tại E. Chứng minh KC = QE

Phân tích hình học:

• Qua K vẽ đường thẳng song song BC ⇒ gọi là đường d₁
• Qua C vẽ đường thẳng song song AK ⇒ gọi là đường d₂
• E là giao điểm của d₁ và d₂.

Chứng minh:

• ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC, các đường cao từ B và C có độ dài bằng nhau, và Q là trung điểm HK (K đối xứng H qua Q)
• AK ⊥ BC (vì AQ ⊥ BC và K đối xứng H qua Q)
• Do d₁ ∥ BC, d₂ ∥ AK ⇒ d₁ ⊥ d₂

Xét hình chữ nhật KECQ:

• KC ∥ QE (do d₁ và d₂)
• KC = QE (do đối xứng qua Q và tính chất hình chữ nhật)
• Góc tại Q là vuông.

Kết luận: KC = QE

c) Gọi P là hình chiếu của K trên HC. Chứng minh ∠QPE = 90°

Phân tích:

• P là hình chiếu vuông góc từ K lên HC ⇒ KP ⊥ HC
• E ∈ đường thẳng song song AK
• Q nằm trên AQ ⊥ BC ⇒ AQ ⊥ BC ⇒ QE ⊥ BC ⇒ QE ⊥ AK

Chứng minh:

• ∠QPE là góc giữa QE và đường thẳng đi qua P vuông góc với HC

Do KC = QE và KC ∥ QE ⇒ tứ giác KECQ có tính chất hình bình hành đặc biệt ⇒ kết luận:

• KP ⊥ HC
• QE ⊥ AK (vì song song BC, BC ⊥ AQ)
• Mà AK ⊥ HC ⇒ QE ⊥ HC ⇒ QE ⊥ KP

⇒ ∠QPE = 90°

d) Chứng minh tứ giác HCEQ là hình bình hành

Phân tích:

• H, C, E, Q là các điểm đã biết
• H và K đối xứng nhau qua Q ⇒ HQ = QK
• KC = QE (chứng minh trên)
• KC ∥ QE ⇒ ⇒ HC ∥ QE

Chứng minh:

• Tứ giác HCEQ có:
• • HQ = QE (từ đối xứng và chứng minh KC = QE)
  • HC ∥ QE (vì cùng song song với AK)

⇒ Tứ giác HCEQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau

⇒ HCEQ là hình bình hành

e) QE cắt BN tại I, chứng minh I là trung điểm BH

Phân tích:

• QE cắt BN tại I
• BN là đường cao từ B ⇒ đi qua H
• BH là đoạn từ B đến H

Ta sẽ chứng minh I là trung điểm BH

Chứng minh:

Tứ giác HCEQ là hình bình hành ⇒ đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ Đường chéo HQ và CE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ Giao điểm là trung điểm của BH (vì H nằm trên BH), QE đi qua đó

⇒ I là trung điểm của BH

f) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác HIEC là hình thang cân

Phân tích:

• Tứ giác HIEC gồm các điểm:
• • H: trực tâm
  • I: trung điểm BH (chứng minh trên)
  • E: từ giao điểm QE và đường song song BC
  • C: đỉnh tam giác

Tứ giác HIEC là hình thang cân ⇔ 2 cạnh đối song song và 2 góc kề đáy bằng nhau

Giả sử HE ∥ IC và HE = IC ⇒ hình thang cân

Điều kiện xảy ra:

• ΔABC phải là tam giác đều (vì lúc đó tam giác cân tại A, đồng thời các đường cao là cũng là trung tuyến, phân giác, đường trung trực)
• Khi đó: H là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, và trung điểm giao nhau ⇒ tạo nên các tính chất đối xứng mạnh.

Kết luận:
Tứ giác HIEC là hình thang cân ⇔ tam giác ABC đều

mong các bạn nhận xét và cho mình một đúng

Cức chó cức trâu

1. Chứng minh AI=2DH

Bước 1: Tính các góc và xác định độ dài đoạn thẳng.

• Vì ABCD là hình bình hành nên AB // DC và ∠D+∠A=180∘. ∠D=180∘−∠A=180∘−120∘=60∘
• DI là tia phân giác của ∠D nên: ∠CDI=∠ADI=2∠D​=260∘​=30∘
• Vì AB // DC và DI là cát tuyến nên ∠AID=∠CDI (hai góc so le trong). ∠AID=30∘
• Trong △ADI, ta có ∠AID=30∘ và ∠ADI=30∘. Do đó, △ADI là tam giác cân tại A. AD=AI
• Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = DC.
• I là trung điểm của AB nên AI=2AB​. Từ đó suy ra: AD=AI=2AB​

Bước 2: Xét △ADH.

• Ta có AH⊥DC (theo giả thiết), nên △ADH là tam giác vuông tại H.
• Trong hình bình hành, ∠ADC=∠D=60∘.
• Trong tam giác vuông ADH, ta có: cos(∠ADH)=ADDH​ cos(60∘)=ADDH​ 21​=ADDH​ AD=2DH

Bước 3: Kết luận.

• Từ AI=AD (chứng minh ở Bước 1) và AD=2DH (chứng minh ở Bước 2), ta suy ra: AI=2DH(Điều phải chứng minh)

2. Chứng minh DI=2AH

Bước 1: Xét △ADH.

• △ADH là tam giác vuông tại H. Ta đã biết ∠D=60∘.
• Ta có: sin(∠ADH)=ADAH​ sin(60∘)=ADAH​ 23​​=ADAH​ AD=3​2AH​(∗)

Bước 2: Xét △ADI.

• Trong △ADI, ta có ∠DAI=∠DAB=120∘. AD=AI và ∠ADI=30∘. ∠DAI=180∘−(∠AID+∠ADI)=180∘−(30∘+30∘)=120∘
• Áp dụng Định lý Sin cho △ADI: sin(∠DAI)DI​=sin(∠AID)AD​ sin(120∘)DI​=sin(30∘)AD​ 23​​DI​=21​AD​ DI⋅3​2​=AD⋅2 DI=AD⋅3​(∗∗)

Bước 3: Kết luận.

• Thay (∗) vào (∗∗), ta được: DI=(3​2AH​)⋅3​ DI=2AH(Điều phải chứng minh)

3. Chứng minh AC vuông góc với AD

Bước 1: Tính độ dài các cạnh liên quan đến △ADC.

• Ta có AI=AD và I là trung điểm AB. Suy ra AD=2AB​.
• Vì ABCD là hình bình hành nên DC=AB. Do đó DC=2AD.

Bước 2: Xét △ADC.

• Ta có △ADC với:
• • DC=2AD
  • ∠ADC=60∘
• Áp dụng Định lý Cosin để tính AC2: AC2=AD2+DC2−2⋅AD⋅DC⋅cos(∠ADC) AC2=AD2+(2AD)2−2⋅AD⋅(2AD)⋅cos(60∘) AC2=AD2+4AD2−4AD2⋅21​ AC2=5AD2−2AD2 AC2=3AD2

Bước 3: Kiểm tra tính vuông góc.

• Để AC⊥AD thì △ADC phải vuông tại A. Khi đó, theo định lý Pytago, ta cần có AD2+AC2=DC2.
• Thay các giá trị đã tính: AD2+AC2=AD2+3AD2=4AD2
• Và DC2=(2AD)2=4AD2.
• Vì AD2+AC2=DC2 (4AD2=4AD2), nên △ADC là tam giác vuông tại A.
• Do đó, AC⊥AD. (Điều phải chứng minh)

a. Xét tam giác HCD cóHN=DN;HM=CM 

=> MN là đường trung bình của tam giác HCD => MN//DC

=> DNMC là hình thang

b. Ta có MN là đường trung bình của tam giác HCD => MN=1/2CD

Mà AB=1/2CD => AB =MN

Do MN//CD và AB//CD => AB//MN

Xét tứ giác ABMN có AB//MN; AB=MN

=> ABMN là hình bình hành

c.Ta có MN//CD mà CD vg AD

=> MN vg AD

Xét tam giác ADM có DH và MN là 2 đường cao của tam giác 

Mà chúng cắt nhau tại N nên N là trực tâm của tam giác ADM

=> AN là đường cao của tam giác ADM

=> AN vg DM

Do ABMN là hình bình hành nên AN//BM

=> BM vg DM => BMD =90*

Bước 1: Phân tích hình học Tam giác 𝐴 𝐵 𝐶 ABC cân tại 𝐴 A → 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐶 AB=AC, 𝐴 𝐻 ⊥ 𝐵 𝐶 AH⊥BC (vì là đường cao từ đỉnh cân). 𝐼 I là trung điểm của 𝐴 𝐻 AH. 𝐷 D là hình chiếu của 𝐻 H trên 𝐶 𝐼 CI → 𝐻 𝐷 ⊥ 𝐶 𝐼 HD⊥CI. Cần chứng minh ∠ 𝐴 𝐷 𝐵 = 90 ∘ ∠ADB=90 ∘ . Bước 2: Dựng hình và ý tưởng chứng minh Vì tam giác cân tại 𝐴 A nên 𝐻 H nằm trên đường trung trực của 𝐵 𝐶 BC. 𝐷 D là hình chiếu vuông góc của 𝐻 H lên 𝐶 𝐼 CI, mà 𝐼 I là trung điểm 𝐴 𝐻 AH. Sử dụng trực giao và trung điểm sẽ dẫn đến trực giác về đường tròn hay góc vuông. Bước 3: Chứng minh góc ∠ 𝐴 𝐷 𝐵 = 90 ∘ ∠ADB=90 ∘ Vì 𝐷 D là hình chiếu vuông góc của 𝐻 H lên 𝐶 𝐼 CI → 𝐻 𝐷 ⊥ 𝐶 𝐼 HD⊥CI. Mà 𝐼 I là trung điểm của 𝐴 𝐻 AH, nên 𝐶 𝐼 CI là đường trung bình trong tam giác vuông 𝐴 𝐶 𝐻 ACH → 𝐶 𝐼 ∥ 𝐴 𝐵 CI∥AB (vì 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐶 AB=AC, tam giác cân). Vì 𝐻 𝐷 ⊥ 𝐶 𝐼 HD⊥CI, mà 𝐶 𝐼 ∥ 𝐴 𝐵 CI∥AB → 𝐻 𝐷 ⊥ 𝐴 𝐵 HD⊥AB. Mà 𝐻 ∈ 𝐴 𝐻 H∈AH, 𝐷 ∈ 𝐶 𝐼 D∈CI, nối 𝐴 𝐷 AD và 𝐵 𝐷 BD. 𝐻 𝐷 ⊥ 𝐴 𝐵 HD⊥AB, nên khi nối 𝐴 → 𝐷 → 𝐵 A→D→B, thì góc giữa hai đoạn thẳng này là vuông. ➡️ Suy ra ∠ 𝐴 𝐷 𝐵 = 90 ∘ ∠ADB=90 ∘ (vì 𝐴 𝐷 ⊥ 𝐵 𝐷 AD⊥BD).

A B C D M N E

a, xét tứ giác  AMDN có : 

góc BAC = góc DMA = góc AND = 90 (gt)

=> AMDN là hình chữ nhật (dấu hiệu)

b,  AMDN là hình chữ nhật (câu a)

=> AN // DM hay AN // ME     (1)

AMDN là hình chữ nhật => AN = MD (tc)

MD = ME do E đối xứng cới D qua M (gt)

=> AN = ME   và (1)

=> AEMN là hình bình hành (dấu hiệu)

=> AN // ME (đn)

c, AMDN là hình chữ nhật (câu a)

để AMDN là hình vuông

<=> DN = DM (dh)               (2)

có D là trung điểm của BC (gt)

DN // AB do AMDN là hình chữ nhật

=> DN là đường trung bình của tam giác ABC 

=> DN = AB/2 (tc)

tương tự có DM = AC/2      và (2)

<=> AB/2 = AC/2

<=> AB = AC 

 tam giác ABC vuông tại A gt)

<=> tam giác ABC vuông cân tại A

vậy cần thêm đk tam giác ABC vuông để AMDN là hình vuông 

+ vì AMDN là hình vuông

=> MN _|_ AD (tc)

=> S AMDN = NM.AD : 2 (Đl)     

tam giác ABC vuông tại A có AD _|_ BC 

=> S ABC = AD.BC : 2   (đl)      (3)

BC = 2NM do NM là đường trung bình của tam giác ABC   và (3)

=> S ABC =  AD.2MN : 2

=> S ABC = 2S AMDN