K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HM
1
A
18 tháng 8 2025
a, Ta có tam giác \(A B C\) nhọn, kẻ:
- \(B D \bot A B\)
- \(C D \bot A C\)
=> Các góc tại \(B\) và \(C\) đều là góc vuông.
Ta xét tứ giác \(A B D C\):
- \(\angle A B D = 90^{\circ}\) (do \(B D \bot A B\))
- \(\angle A C D = 90^{\circ}\) (do \(C D \bot A C\))
Suy ra:
\(\angle A B D + \angle A C D = 180^{\circ}\)
Mà tổng góc trong tứ giác bằng \(360^{\circ}\), nên:
\(\angle B A D + \angle B C D + 180^{\circ} = 360^{\circ} \Rightarrow \angle B A D + \angle B C D = 180^{\circ}\)
Mà \(\angle B A D\) chính là góc tại \(A\) của tam giác \(A B C\), ký hiệu là \(\angle A\),
\(\angle B C D\) chính là góc tại \(D\) trong tứ giác (ký hiệu là \(\angle D\)).
⇒ \(\Rightarrow \angle D + \angle A = 180^{\circ}\)
b, * Chứng minh \(Q J = B D\)
Vì \(I\) là trung điểm của \(P Q\) và \(B J\), nên:
- \(I P = I Q\) (trung điểm \(P Q\))
- \(I B = I J\) (trung điểm \(B J\))
Xét hai tam giác \(I P B\) và \(I Q J\):
- \(I P = I Q\) (gt)
- \(I B = I J\) (gt)
- \(\angle P I B = \angle Q I J\) (đối đỉnh)
⇒ Tam giác \(I P B\) ≅ tam giác \(Q I J\) (cạnh – cạnh – góc xen giữa)
Suy ra:
\(P B = Q J\)
Nhưng \(P B = A B - A P = A B - \left(\right. A B - B P \left.\right) = B P\), mà \(B P = B D\) (gt)
⇒ \(Q J = P B = B P = B D \Rightarrow \boxed{Q J = B D}\)
*Chứng minh \(\angle A Q J + \angle D = 180^{\circ}\)
Ta đã biết ở phần a): \(\angle A + \angle D = 180^{\circ} .\)
Ta sẽ chứng minh \(\angle A Q J = \angle A\)
Xét hai tam giác:
- Tam giác \(A B P\): có \(B P = B D\) (gt)
- Tam giác \(A C Q\): có \(C Q = C D\) (gt)
Do \(B D \bot A B\), \(C D \bot A C\) ⇒ \(B D\) là đường cao tam giác \(A B C\), tương tự \(C D\) cũng là đường cao.
Suy ra tam giác \(A B P\) vuông tại \(B\), tam giác \(A C Q\) vuông tại \(C\). Hai điểm \(P , Q\) được lấy đối xứng vai trò như nhau theo hai cạnh của tam giác \(A B C\).
Lại có \(Q J = B D = B P\) (ở trên vừa chứng minh), do đó tam giác \(A Q J\) đồng dạng với tam giác \(A B C\) ⇒
\(\angle A Q J = \angle A .\)
Vậy:
\(\angle A Q J + \angle D = \angle A + \angle D = 180^{\circ} . \textrm{ }\textrm{ } \textrm{ } (đ\text{pcm})\)
A
16 tháng 8 2025
a) Rút gọn A rồi tìm \(x\) để \(A\) đạt GTNN
Nhận xét:
\(x^{2} - 8 x + 16 = \left(\right. x - 4 \left.\right)^{2} \Rightarrow \sqrt{x^{2} - 8 x + 16} = \mid x - 4 \mid = x - 4 \left(\right. v \overset{ˋ}{\imath} x > 4 \left.\right)\)
Xét biểu thức trong ngoặc:
\(\sqrt{x + 4 \sqrt{x - 4}} = \sqrt{\left(\right. \sqrt{x - 4} + 2 \left.\right)^{2}} , \sqrt{x - 4 \sqrt{x - 4}} = \sqrt{\left(\right. \sqrt{x - 4} - 2 \left.\right)^{2}}\)
⇒ Với \(x > 4\), ta có:
\(\sqrt{x + 4 \sqrt{x - 4}} = \sqrt{x - 4} + 2 , \sqrt{x - 4 \sqrt{x - 4}} = \mid \sqrt{x - 4} - 2 \mid = \sqrt{x - 4} - 2 \left(\right. v \overset{ˋ}{\imath} \sqrt{x - 4} > 2 \left.\right)\)
⇒ Tổng:
\(\sqrt{x + 4 \sqrt{x - 4}} + \sqrt{x - 4 \sqrt{x - 4}} = \left(\right. \sqrt{x - 4} + 2 \left.\right) + \left(\right. \sqrt{x - 4} - 2 \left.\right) = 2 \sqrt{x - 4}\)
Do đó:
\(A = \frac{x \cdot 2 \sqrt{x - 4}}{x - 4} = \frac{2 x \sqrt{x - 4}}{x - 4} = \frac{2 x}{\sqrt{x - 4}}\)
Xét hàm \(A \left(\right. x \left.\right) = \frac{2 x}{\sqrt{x - 4}} , \&\text{nbsp}; x > 4\)
Đặt \(t = \sqrt{x - 4} > 0 \Rightarrow x = t^{2} + 4\)
\(A = \frac{2 \left(\right. t^{2} + 4 \left.\right)}{t} = 2 t + \frac{8}{t}\)
Tìm GTNN của hàm \(f \left(\right. t \left.\right) = 2 t + \frac{8}{t} , \&\text{nbsp}; t > 0\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(2 t + \frac{8}{t} \geq 2 \sqrt{2 t \cdot \frac{8}{t}} = 2 \sqrt{16} = 8\)
Dấu “=” xảy ra khi \(2t=\frac{8}{t}\Rightarrow t^2=4\Rightarrow t=2\Rightarrow x=t^2+4=8\)
NN
0
PB
0
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
6 tháng 10 2025
Bài 4:
a:ĐKXĐ: x>=0; x<>1
b: \(A=\frac{x+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x}-1+\sqrt{x}=2\sqrt{x}-1\)
Bài 5:
\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}:\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)
\(=\frac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)
\(=\frac{x+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)
Bài 6:
Ta có: \(\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\frac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)
\(=\frac{3a-3\sqrt{ab}-2a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}+b}\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
6 tháng 10 2025
Bài 4:
a:ĐKXĐ: x>=0; x<>1
b: \(A=\frac{x+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x}-1+\sqrt{x}=2\sqrt{x}-1\)
Bài 5:
\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}:\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)
\(=\frac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)
\(=\frac{x+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)
Bài 6:
Ta có: \(\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\frac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)
\(=\frac{3a-3\sqrt{ab}-2a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}+b}\)
Bài 3:
a: ĐKXĐ: a>0; b>0; a<>b
b: \(A=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\)
\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=-2\sqrt{b}\)
ko giải đc
1) Khi `m=2` ta có pt:
`x^2-2*(2+1)x+3*2-3=0`
`<=>x^2-6x+3=0`
`Δ=(-6)^2-4*1*3=24`
\(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{6+\sqrt{24}}{2}=3+\sqrt{6}\\x_2=\dfrac{6-\sqrt{24}}{2}=3-\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)
2) `Δ=[-2(m+1)]^2-4*1*(3m-3)`
`=4(m^2+2m+1)-12m+12`
`=4m^2+8m+4-12m+12=4m^2-4m+16=(2m-1)^2+15>0` với mọi m nên luôn có 2 nghiệm pb
Theo Vi-ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=3m-3\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{x_1-1}+\sqrt{x_2-1}=4\\ \Leftrightarrow x_1+x_2-2+2\sqrt{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=16\\ \Leftrightarrow x_1+x_2-2+2\sqrt{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}\\ \Rightarrow2\left(m+1\right)-2+2\sqrt{3m-3-2\left(m+1\right)+1}=16\\ \Leftrightarrow2m+2-2+2\sqrt{3m-3-2m-2+1}=16\\ \Leftrightarrow2m+2\sqrt{m-4}=16\\ \Leftrightarrow m+\sqrt{m-4}=8\\ \Leftrightarrow\sqrt{m-4}=8-m\left(4\le m\le8\right)\\ \Leftrightarrow m-4=m^2-16m+64\\ \Leftrightarrow m^2-17m+68=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{17+\sqrt{17}}{2}\left(ktm\right)\\m=\dfrac{17-\sqrt{17}}{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: ...
Câu 2. Cho phương trình
\(x^{2} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 \textrm{ } \left(\right. m + 1 \left.\right) \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 3 m - 3 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0.\)
1) Giải phương trình khi \(m = 2\)
Khi \(m = 2\), ta có
\(x^{2} - 2 \left(\right. 2 + 1 \left.\right) x + \left(\right. 3 \cdot 2 - 3 \left.\right) = x^{2} - 6 x + 3 = 0.\)
Áp dụng công thức nghiệm:
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6} .\)
Vậy với \(m = 2\):
\(\boxed{x_{1} = 3 + \sqrt{6} , x_{2} = 3 - \sqrt{6} .}\)
2) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) sao cho
\(\sqrt{x_{1} - 1} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{x_{2} - 1} = 4.\)
Bước 1. Biểu diễn \(x_{1} , x_{2}\) qua hai số không âm
Đặt
\(a = \sqrt{x_{1} - 1} , b = \sqrt{x_{2} - 1} ,\)
ta có \(a , b \geq 0\) và điều kiện trở thành
\(a + b = 4.\)
Ngược lại
\(x_{1} = a^{2} + 1 , x_{2} = b^{2} + 1.\)
Bước 2. Dùng hệ thức Vi-ét
Tổng và tích hai nghiệm của phương trình là
\(S = x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) , P = x_{1} x_{2} = 3 m - 3.\)
Nhưng
\(S = \left(\right. a^{2} + 1 \left.\right) + \left(\right. b^{2} + 1 \left.\right) = a^{2} + b^{2} + 2 = \left(\right. a + b \left.\right)^{2} - 2 a b + 2 = 16 - 2 a b + 2 = 18 - 2 a b ,\) \(P = \left(\right. a^{2} + 1 \left.\right) \left(\right. b^{2} + 1 \left.\right) = a^{2} b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1 = \left(\right. a b \left.\right)^{2} + \left[\right. \left(\right. a + b \left.\right)^{2} - 2 a b \left]\right. + 1 = \left(\right. a b \left.\right)^{2} + 16 - 2 a b + 1 = \left(\right. a b \left.\right)^{2} - 2 a b + 17.\)
Từ \(S = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\) và \(P = 3 m - 3\) ta có hệ
\(\left{\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) = 18 - 2 a b , \\ 3 m - 3 = \left(\right. a b \left.\right)^{2} - 2 a b + 17.\)
Từ đẳng thức đầu:
\(m + 1 = 9 - a b \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } m = 8 - a b .\)
Thay vào đẳng thức thứ hai:
\(3 \left(\right. 8 - a b \left.\right) - 3 = \left(\right. a b \left.\right)^{2} - 2 a b + 17 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 24 - 3 a b - 3 = \left(\right. a b \left.\right)^{2} - 2 a b + 17 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. a b \left.\right)^{2} + a b - 4 = 0.\)
Giải phương trình theo \(t = a b\):
\(t^{2} + t - 4 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2} .\)
Vì \(a , b \geq 0\) nên \(a b = t \geq 0\), chỉ chọn
\(a b = \frac{- 1 + \sqrt{17}}{2} .\)
Vậy
\(m = 8 - a b = 8 - \frac{- 1 + \sqrt{17}}{2} = \frac{16 + 1 - \sqrt{17}}{2} = \frac{17 - \sqrt{17}}{2} .\)
Cuối cùng ta kiểm tra được với giá trị này:
Kết luận.
\(x = 3 \pm \sqrt{6} .\)
\(\sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{2} - 1} = 4\)
khi và chỉ khi
\(\boxed{\textrm{ } m = \frac{17 - \sqrt{17}}{2} \textrm{ }} .\)