Do \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow x=-\left(y+z\right)\Rightarrow x^2=\left(y+z\right)^2\Rightarrow4yz-x^2=4yz-\left(y+z^2\right)=-\left(y-z\right)^2\)

Tương tự \(4zx-y^2=-\left(z-x\right)^2\)

               \(4xy-z^2=-\left(x-y\right)^2\)

Ta lại có: \(yz+2x^2=yz+x^2-x\left(y+z\right)=yz+x^2-xy-xz=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\)

Tương tự: \(zx+2y^2=\left(y-x\right)\left(y-z\right)\)

                \(xy+2z^2=\left(y-z\right)\left(y-y\right)\)

\(P=\frac{\left(4yz-x^2\right)\left(4zx-y^2\right)\left(4xy-z^2\right)}{\left(yz+2x^2\right)\left(zx+2y^2\right)\left(xy+2z^2\right)}=\frac{-\left(y-z\right)^2\left(z-x\right)^2\left(x-y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-x\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)

\(=\frac{-\left(y-z\right)^2\left(z-x\right)^2\left(x-y\right)^2}{-\left(y-z\right)^2\left(z-x\right)^2\left(x-y\right)^2}=1\)

x+y+z=0

=>x+y=-z; x+z=-y; y+z=-x

\(\left(x+y\right)^2=\left(-z\right)^2=z^2\)

=>\(x^2+2xy+y^2=z^2\)

=>\(z^2-xy=x^2+xy+y^2\)

\(4xy-z^2=4xy-(x^2+2xy+y^2)\)

\(=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2\)

\(xy+2z^2=xy+2(x^2+2xy+y^2)\)

\(=2x^2+5xy+2y^2=(x+2y)(2x+y)\)

\(\left(x+z\right)^2=\left(-y\right)^2=y^2\)

=>\(x^2+2xz+z^2=y^2\)

=>\(y^2-xz=x^2+xz+z^2\)

\(4yz-x^2=4yz-\left(y+z\right)^2\)

\(=4yz-\left(y^2+2yz+z^2\right)=-y^2+2yz-z^2=-\left(y-z\right)^2\)

\(yz+2x^2=yz+2\left(y^2+2yz+z^2\right)\)

\(=2y^2+5yz+2z^2=2y^2+4yz+yz+2z^2\)

=2y(y+2z)+z(y+2z)

=(y+2z)(2y+z)

\(\left(y+z\right)^2=\left(-x\right)^2=x^2\)

=>\(y^2+2yz+z^2=x^2\)

=>\(x^2-yz=y^2+yz+z^2\)

\(4xz-y^2\) =4xz-(x+z)^2

=4xz-\(x^2-2xz-z^2\)

\(=-x^2+2xz-z^2=-\left(x-z\right)^2\)

\(xz+2y^2=xz+2\left(x+z\right)^2\)

\(=xz+2x^2+4xz_{}+2z^2=2x^2+5xz+2z^2\)

\(=2x^2+4xz+xz+2z^2\)

=2x(x+2z)+z(x+2z)

=(x+2z)(2x+z)

2x+y=x+x+y=x-z

\(2y + z = y + (y + z) = y - x = -(x - y)\)

\(2z + x = z + (z + x) = z - y = -(y - z)\)

\(x + 2y = (x + y) + y = -z + y = y - z\)

\(y + 2z = (y + z) + z = -x + z = z - x\)

\(z + 2x = (z + x) + x = -y + x = x - y\)

Ta có: \(A = \frac{4xy - z^2}{xy + 2z^2} \cdot \frac{4yz - x^2}{yz + 2x^2} \cdot \frac{4zx - y^2}{xz + 2y^2}\)

\(=\frac{-(x - y)^2}{(x + 2y)(2x + y)}\cdot\frac{-(y - z)^2}{(y + 2z)(2y + z)}\cdot\frac{-(z - x)^2}{(z + 2x)(2z + x)}\)

\(=\frac{-\left(x-y\right)^2\cdot\left(y-z\right)^2\cdot\left(z-x\right)^2}{(y-z)(x-z)(z-x)[-(x-y)](x-y)[-(y-z)]}\)

\(=\frac{-(x - y)^2 (y - z)^2 (z - x)^2}{-(x - y)^2 (y - z)^2 (z - x)^2}=1\)

a) Để A có nghĩa, mẫu số của biểu thức phải khác 0. Vì vậy, ta cần giải phương trình: x^2y - xy^2 + y^2z - yz^2 + z^2x - zx^2 ≠ 0 b) Để tính giá trị của A khi x = -1/2, y = 5/2 và z = 8, ta thay các giá trị này vào biểu thức và tính toán: A = (-1/2)^3(5/2) - (-1/2)(5/2)^3 + (5/2)^3(8) - (5/2)(8)^3 + (8)^3(-1/2) - (8)(-1/2)^2 / (-1/2)^2(5/2) - (-1/2)(5/2)^2 + (5/2)^2(8) - (5/2)(8)^2 + (8)^2(-1/2) - (8)(-1/2)^2 Sau khi tính toán, ta sẽ có giá trị của A. Lưu ý: Để tính toán đúng, hãy chắc chắn rằng bạn đã sử dụng các giá trị x, y, z đúng và thực hiện các phép tính đúng theo thứ tự ưu tiên.