A B C M G H N P

Hình này đc Hông 

a)

Ta có:

     G là trọng tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến);

     H là trực tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường cao);

     I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC;

     O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (Đường trung trực đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh tại trung điểm đó).

Mà tam giác ABC đều nên trong tam giác ABC đường trung tuyến đồng thời là đường cao và là đường phân giác.

Vậy bốn điểm G, H, I, O trùng nhau hay nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.

b) 

Giả sử trong tam giác ABC có hai điểm trùng nhau là H (trực tâm của tam giác) và I (giao của ba đường phân giác).

Hay AD, BE, CF vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác ABC.

Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) ( vì AD là tia phân giác của góc BAC)

AD chung;

\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}(=90^0)\) (vì \(AD \bot BC\));

Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(g.c.g). Suy ra: AB = AC( 2 cạnh tương ứng). (1)

Tương tự ta có: \(\Delta AEB = \Delta CEB\)(c.g.c). Suy ra: AB = BC ( 2 cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC.

Vậy tam giác ABC đều hay nếu tam giác ABC có hai điểm trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

Giả sử tam giác ABC có H vừa là trực tâm, vừa là trọng tâm tam giác ABC. Ta phải chứng minh tam giác ABC đều.

Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên AD, BE, CF vừa là các đường cao, vừa là các đường trung tuyến trong tam giác.

Suy ra: AF = BF = AE = CE = BD = CD;

\(AD \bot BC; BE \bot AC; CF \bot AB\)

Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:

     AD chung

    \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC} (=90^0)\)

     BD = CD (D là trung điểm của đoạn thẳng BC).

Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(c.g.c) nên AB = AC ( 2 cạnh tương ứng).

Tương tự, ta cũng được, AC = BC

Xét tam giác ABC có AB = AC = BC nên là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác thì tam giác ABC đều.

Tam giác ABC đều nên AB = AC = BC.

G là trọng tâm tam giác ABC nên AD, BE, CF là các đường trung tuyến trong tam giác.

Suy ra: AF = BF = AE = CE = BD = CD.

Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:

     AB = AC (tam giác ABC đều);

     AD chung

     BD = CD (D là trung điểm của đoạn thẳng BC).

Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(c.c.c) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) ( 2 góc tương ứng).

Mà ba điểm B, D, C thẳng hàng nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \)hay \(AD \bot BC\). (1)

Tương tự ta có:

\(\widehat {AEB} = \widehat {CEB} = 90^\circ \) hay\(BE \bot AC\). (2)

\(\widehat {AFC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) hay\(CF \bot AB\). (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra G là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF.

Vậy G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

 -Trọng tâm tam giác là giao điểm ba đường trung tuyến 
-Trực tâm tam giác là giao điểm bà đường cao kẻ từ 3 đỉnh tam giác 
-Giao điểm ba đường trung trực của tam giác là tâm của đường tròn NGOẠI TIẾP 
-Giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác là tâm đường tròng NỘI TIẾP 
Còn các hệ thức trong tam giác vuông mình wên rồi, để bạn nào HS lớp 9 trả 

B

B

Cho tam giác ABC, gọi G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó BHCD là hình bình hành, suy ra trung điểm M của BC cũng là trung điểm của HD. Tam giác AHD có OM là đường trung bình, suy ra OM = ½ AH . Suy ra GM/GA = OM/AH  = ½ . Suy ra ΔAHG ∼ ΔMOG (c.g.c)Suy ra  H,G, O thẳng hàng và GH = 2GO.  Nhận xét. Khi nói đến đường thẳng Euler thì ta chỉ cần cho đường thẳng đi qua hai trong 3 điểm trên.