Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề toán tư duy logic, cấu trúc toán olympic quốc tế Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

m x n = 3 x m + 2 x n (1)

Với 8 x (m x 2) thì m = 8; n = m x 2. Thay vào (1) ta có:

8 x m x 2 = 3 x 8 + 2 x m x 2

(8 x 2) x m = 24 + (2 x 2) x m

16 x m = 24 + 4 x m

16 x m - 4 x m = 24

m x (16 - 4) = 24

m x 12 = 24

m = 24 : 12

m = 2

Vậy giá trị của m trong 8 x (m x 2) là m = 2

8=098;,9076543111100ôppuukklmmnn

Ta có: \(x+y+z\ge12\), với \(x,y,z>0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(P=\dfrac{x}{\sqrt y}+\dfrac{y}{\sqrt z}+\dfrac{z}{\sqrt x}\)

\(\displaystyle P\ge\dfrac{(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2}{\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z}\)

Suy ra \(P\ge\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z\).

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\((\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2\ge x+y+z\ge12\).

Suy ra \(P\ge2\sqrt3\).

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=4\).

Khi đó \(P=\dfrac44+\dfrac44+\dfrac44=3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(3\), đạt được khi \(x=y=z=4\).

má ơi cái này em vẫn là lớp 3

trời ơi

đúng

trong nhx ngày lễ, vc tặng quà và gửi lời chúc chỉ có ý nghĩa khi xuất phát từ tấm lòng chân thành. Nếu lời chúc hay món quà chỉ mang tính hình thức, lm cho có, thì nó sẽ trở nên vô nghĩa và thậm chí khiến ng nhận cảm thấy ko đc trân trọng. 1 món quà nhỏ nhg chứa đựng tình cảm tht sự sẽ quý giá hơn nhiều so vs nhx món quà to lớn nhg thiếu sự chân thành. Lời chúc từ trái tim ms có thể đem lại niềm vui, sự ấm áp và gắn kết tình cảm giữa con ng vs nhau. Vì vậy, mk đồng tình rằng nếu không xuất phát từ cái tâm thì thà đừng làm, bởi giá trị của việc tặng quà và chúc mừng nằm ở tình cảm chứ không phải ở hình thức. Điều quan trọng nhất là sự chân thành, bởi chính nó mới làm cho ngày lễ trở nên ý nghĩa và đáng nhớ.

a: ΔMNP vuông tại M

=>\(\hat{MNP}+\hat{MPN}=90^0\)

=>\(\hat{MNP}=90^0-60^0=30^0\)

Xét ΔMNP vuông tại M có sin MNP=\(\frac{MP}{NP}\)

=>\(\frac{MP}{10}=\sin30=\frac12\)

=>MP=5(cm)

ΔMNP vuông tại M

=>\(MN^2+MP^2=NP^2\)

=>\(MP^2=10^2-5^2=100-25=75\)

=>\(MP=5\sqrt3\) (cm)

b: Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên \(MH\cdot NP=MN\cdot MP\)

=>\(MH\cdot10=5\cdot5\sqrt3=25\sqrt3\)

=>\(MH=\frac{25\sqrt3}{10}=\frac{5\sqrt3}{2}\) (cm)

Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên \(NH\cdot NP=NM^2\)

=>\(NH=\frac{5^2}{10}=2,5\left(\operatorname{cm}\right)\)

NH+PH=NP

=>PH=10-2,5=7,5(cm)

c: Xét ΔNHM vuông tại H và ΔNMP vuông tại M có

góc HNM chung

Do đó: ΔNHM~ΔNMP

=>\(\frac{NM}{NP}=\frac{NH}{NM}\) (1)

Xét ΔNMP có NJ là phân giác

nên \(\frac{JM}{JP}=\frac{MN}{NP}\) (2)

Xét ΔNHM có NI là phân giác

nên \(\frac{IH}{IM}=\frac{NH}{NM}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{JM}{JP}=\frac{IH}{IM}\)

khó thế mà chị cx nghĩ ra , em bái phục chị , chị quá giỏi⚡

\(1-\frac12=\frac12\) số quả trứng còn lại sau lần thứ 2 là 10+2=12(quả)

Số quả trứng còn lại sau lần thứ hai là: \(12:\frac12=12\cdot2=24\) (quả)

\(1-\frac12=\frac12\) số quả trứng còn lại sau lần thứ nhất là 24+2=26(quả)

Số quả trứng còn lại sau lần thứ nhất là: \(26:\frac12=26\times2=52\) (quả)

\(1-\frac12\) số quả trứng ban đầu là 52+2=54(quả)

Số quả trứng ban đầu là: \(54:\left(1-\frac12\right)=54:\frac12=108\) (quả)

Bước 1: Tính số trứng còn lại sau lần bán thứ 2 (trước lần 3)

• $10$ quả trứng còn lại sau khi bán $\frac{1}{2}$ số trứng sau lần 2 (và thêm 2 quả).
• Số trứng còn lại ($10$ quả) chính là $\frac{1}{2}$ số trứng sau lần 2, trừ đi $2$ quả trứng bán thêm.
• Do đó, $\frac{1}{2}$ số trứng sau lần 2 là: $10 + 2 = 12$ (quả).
• Số trứng còn lại sau lần bán thứ 2 (trước lần 3) là: $12 \times 2 = **24$ (quả).**

🌟 Bước 2: Tính số trứng còn lại sau lần bán thứ 1 (trước lần 2)

• $24$ quả trứng còn lại sau khi bán $\frac{1}{2}$ số trứng sau lần 1 (và thêm 2 quả).
• Tương tự, $\frac{1}{2}$ số trứng sau lần 1 là: $24 + 2 = 26$ (quả).
• Số trứng còn lại sau lần bán thứ 1 (trước lần 2) là: $26 \times 2 = **52$ (quả).**

🌟 Bước 3: Tính tổng số trứng ban đầu (trước lần 1)

• $52$ quả trứng còn lại sau khi bán $\frac{1}{2}$ tổng số trứng ban đầu (và thêm 2 quả).
• $\frac{1}{2}$ tổng số trứng ban đầu là: $52 + 2 = 54$ (quả).
• Tổng số trứng ban đầu là: $54 \times 2 = **108$ (quả).**

✅ Kết quả

Lúc đầu người đó có 108 quả trứng.

Ta có: \(ab=c\left(a-b\right)\)

<=> \(c^2=ac-bc-ab+c^2\)

<=> \(c^2=a\left(c-b\right)+c\left(c-b\right)\)

<=> \(c^2=\left(c-b\right)\left(a+c\right)\)

Đặt: ( c - b ; a + c ) = d 

=> \(c^2⋮d^2\)=> \(c⋮d\)(1)

và \(\hept{\begin{cases}c-b⋮d\\a+c⋮d\end{cases}}\)(2)

Từ (1); (2) => \(b;a⋮d\)(3)

 Từ (1); (3) và (a; b ; c ) =1

=> d = 1  hay c - b; a + c nguyên tố cùng nhau 

Mà \(\left(c-b\right)\left(a+c\right)=c^2\)là số chính phương 

=> c - b ; a + c là 2 số chính phương 

Khi đó tồn tại  số nguyên dương u, v sao cho: \(c-b=u^2;a+c=v^2\)khi đó: \(c^2=u^2.v^2\)<=> c = uv  ( vì c, u,, v nguyên dương )

Ta có: \(a-b=\left(a+c\right)+\left(c-b\right)-2c\)

\(=u^2+v^2-2uv=\left(u-v\right)^2\) là số chính phương.

a điên

\(f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)Q\left(x\right)+ax+b\) (Q(x) là thương, ax + b là số dư)

f (x) chia cho x - 2 dư 3 tức f(2) = 3 \(\Rightarrow2a+b=3\) (1)

f(x) chia x - 3 dư 4 tức f(3) = 4 \(\Rightarrow3a+b=4\) (2)

Từ (1) và (2), ta được \(3a+b-\left(2a+b\right)=4-3=1\Rightarrow a=1\Rightarrow b=1\)

Vậy đa thức dư là ax + b = x + 1

cảm ơn bạn nhiều lắm 

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

Rất đỉnh

Với A là một tập con của tập hợp {1;2;...;2014} thỏa mãn yêu cầu đề bài toán, gọi a là phần tử nhỏ nhất của A

Xét \(b\in A,b\ne a\) ta có b>a và \(\frac{a^2}{b-a}\ge a\Rightarrow b\le2a\)(1)

Gọi c,d là phần tử lớn nhất trong A, c<d từ (1) ta có: \(d\le2a\le2c\left(2\right)\)

Theo giả thiết \(\frac{c^2}{d-c}\in A\). Mặt khác do (2) nên  \(\frac{c^2}{d-c}\ge\frac{c^2}{2c-c}\ge c\Rightarrow\frac{c^2}{d-c}\in\left\{c;d\right\}\)

Xét các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: \(\frac{c^2}{d-c}=d\)trong trường hợp này ta có: \(\frac{c}{d}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) mâu thuẫn với \(c,d\inℤ^+\)
• Trường hợp 2: \(\frac{c^2}{d-c}=c\)trong trường hợp này ta có: d=2c. Kết hợp với (2) => c=d và d=2a

Do đó: A={a;2} với a=1;2;...;1007. Các tập hợp trên đều thỏa mãn yêu cầu đề bài

Vậy có tất cả 1007 tập hợp thỏa mãn

oa em lạy chị

Sửa đề: \(A=\frac{1}{1\cdot1984}+\frac{1}{2\cdot1985}+\ldots+\frac{1}{29\cdot2012}\)

\(=\frac{1}{1983}\left(\frac{1983}{1\cdot1984}+\frac{1983}{2\cdot1985}+\cdots+\frac{1983}{29\cdot2012}\right)\)

\(=\frac{1}{1983}\left(1-\frac{1}{1984}+\frac12-\frac{1}{1985}+\cdots+\frac{1}{29}-\frac{1}{2012}_{}\right)\)

\(=\frac{1}{1983}\left(1+\frac12+\cdots+\frac{1}{29}-\frac{1}{1984}-\frac{1}{1985}-\cdots-\frac{1}{2012}\right)\)

Ta có: \(B=\frac{1}{1\cdot30}+\frac{1}{2\cdot31}+\cdots+\frac{1}{1983\cdot2012}\)

\(=\frac{1}{29}\left(\frac{29}{1\cdot30}+\frac{29}{2\cdot31}+\cdots+\frac{29}{1983\cdot2012}\right)\)

\(=\frac{1}{29}\left(1-\frac{1}{30}+\frac12-\frac{1}{31}+\cdots+\frac{1}{1983}-\frac{1}{2012}\right)\)

\(=\frac{1}{29}\left(1+\frac12+\cdots+\frac{1}{29}-\frac{1}{1984}-\frac{1}{1985}-\cdots-\frac{1}{2012}\right)\)

Do đó: \(\frac{A}{B}=\frac{1}{1983}:\frac{1}{29}=\frac{29}{1983}<1\)

=>A<B